Номер 1030, страница 285 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1030. Источник радиоактивного излучения содержит $m_0 = 1,6$ г цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 30$ лет. Определите, сколько ядерных реакций $^{23}_{11}\text{Na} + ^{A}_{Z}\text{X} \rightarrow ^{24}_{12}\text{Mg} + ^{1}_{0}\text{n}$ необходимо будет провести, чтобы, используя выделившуюся энергию, все ядра цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$, оставшиеся в источнике через время $t = 150$ лет, разделить на отдельные нуклоны.

Дано

$m_0 = 1,6$ г

$T_{1/2} = 30$ лет

$t = 150$ лет

Ядро: $^{137}_{55}$Cs

Реакция: $^{23}_{11}$Na + $^{A}_{Z}$X → $^{24}_{12}$Mg + $^{1}_{0}$n

$m_0 = 1,6 \times 10^{-3}$ кг

$T_{1/2} = 30 \text{ лет} \cdot 3,1536 \times 10^7 \text{ с/год} \approx 9,46 \times 10^8$ с

$t = 150 \text{ лет} \cdot 3,1536 \times 10^7 \text{ с/год} \approx 4,73 \times 10^9$ с

Найти:

$N_{реакций}$ - количество ядерных реакций.

Решение

1. Найдем массу $m$ цезия-137, оставшуюся в источнике через время $t$. Воспользуемся законом радиоактивного распада:

$m = m_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Подставим известные значения:

$m = 1,6 \text{ г} \cdot 2^{-150/30} = 1,6 \cdot 2^{-5} = 1,6 / 32 = 0,05$ г.

2. Определим число $N$ оставшихся ядер цезия-137. Для этого используем формулу:

$N = \frac{m}{M} \cdot N_A$

где $M$ — молярная масса цезия-137 ($M \approx 137$ г/моль), а $N_A$ — число Авогадро ($N_A \approx 6,022 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$).

$N = \frac{0,05 \text{ г}}{137 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2,198 \times 10^{20}$ ядер.

3. Рассчитаем энергию связи $E_{св}$ одного ядра цезия-137. Эта энергия равна той энергии, которую нужно затратить, чтобы разделить ядро на составляющие его нуклоны (протоны и нейтроны). Ядро $^{137}_{55}$Cs содержит $Z=55$ протонов и $N = A - Z = 137 - 55 = 82$ нейтрона.

Энергия связи вычисляется через дефект масс $\Delta m$:

$E_{св} = \Delta m \cdot c^2 = [(Z \cdot m_p + N \cdot m_n) - m_{ядра}] \cdot c^2$

Для удобства будем использовать массы атомов, а не ядер. Массы электронов при этом сократятся.

$\Delta m = (Z \cdot m_{H} + N \cdot m_n) - m_{Cs}$

Используем табличные значения масс:

$m_{H} \approx 1,00783$ а.е.м. (масса атома водорода)

$m_{n} \approx 1,00866$ а.е.м. (масса нейтрона)

$m_{Cs} \approx 136,90709$ а.е.м. (масса атома $^{137}$Cs)

$\Delta m = (55 \cdot 1,00783 + 82 \cdot 1,00866) - 136,90709 \approx 1,23368$ а.е.м.

Переведем дефект массы в энергию, используя соотношение $1 \text{ а.е.м.} \approx 931,5$ МэВ:

$E_{св} = 1,23368 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 1149,1$ МэВ.

4. Найдем общую энергию $E_{общ}$, необходимую для разделения всех $N$ оставшихся ядер цезия:

$E_{общ} = N \cdot E_{св} = 2,198 \times 10^{20} \cdot 1149,1 \text{ МэВ} \approx 2,526 \times 10^{23}$ МэВ.

5. Теперь проанализируем ядерную реакцию, чтобы найти энергию $Q$, выделяющуюся в ходе одной реакции. Сначала определим неизвестную частицу $^{A}_{Z}$X из реакции:

$^{23}_{11}$Na + $^{A}_{Z}$X → $^{24}_{12}$Mg + $^{1}_{0}$n

Применяя законы сохранения массового числа и заряда, получаем:

$23 + A = 24 + 1 \implies A = 2$

$11 + Z = 12 + 0 \implies Z = 1$

Следовательно, частица $^{2}_{1}$X — это ядро дейтерия $^{2}_{1}$H.

Энергетический выход реакции $Q$ равен:

$Q = [m(^{23}Na) + m(^{2}H) - (m(^{24}Mg) + m_n)] \cdot c^2$

Используем табличные значения масс атомов:

$m(^{23}Na) \approx 22,98977$ а.е.м.

$m(^{2}H) \approx 2,01410$ а.е.м.

$m(^{24}Mg) \approx 23,98504$ а.е.м.

$\Delta m_{реакции} = (22,98977 + 2,01410) - (23,98504 + 1,00866) \approx 0,01017$ а.е.м.

$Q = 0,01017 \text{ а.е.м.} \cdot 931,5 \frac{\text{МэВ}}{\text{а.е.м.}} \approx 9,47$ МэВ.

6. Наконец, найдем необходимое число реакций $N_{реакций}$. Общая энергия, выделившаяся в ходе реакций, должна быть равна энергии, необходимой для разделения ядер цезия:

$N_{реакций} \cdot Q = E_{общ}$

$N_{реакций} = \frac{E_{общ}}{Q} = \frac{2,526 \times 10^{23} \text{ МэВ}}{9,47 \text{ МэВ}} \approx 2,67 \times 10^{22}$

Ответ: необходимо провести $2,67 \times 10^{22}$ ядерных реакций.