Номер 132, страница 42 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

132. Сила, зависимость модуля которой от времени имеет вид: $F(t)=F_{\max}\cos(Bt)$, где $F_{\max}=0,02 \text{ H}$, $B=2 \frac{\text{рад}}{\text{с}}$, действует на груз математического маятника, вызывая резонанс. Определите длину нити маятника.

Дано

$F(t) = F_{max}\cos(Bt)$

$F_{max} = 0,02$ Н

$B = 2$ рад/с

$g \approx 9,8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Найти:

$l$ - ?

Решение

В задаче описаны вынужденные колебания математического маятника под действием внешней периодической силы $F(t) = F_{max}\cos(Bt)$.

Из вида этого уравнения следует, что колебания внешней силы происходят с циклической (угловой) частотой $\omega = B = 2$ рад/с.

По условию, действие этой силы вызывает резонанс. Резонанс в колебательной системе наступает в том случае, когда частота вынуждающей силы $\omega$ совпадает с собственной частотой колебаний системы $\omega_0$.

Следовательно, условие резонанса имеет вид:

$\omega = \omega_0$

Собственная циклическая частота малых колебаний математического маятника определяется формулой Гюйгенса:

$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{l}}$

где $g$ – ускорение свободного падения, а $l$ – длина нити маятника.

Приравняем частоту вынуждающей силы и собственную частоту маятника, используя условие резонанса:

$B = \sqrt{\frac{g}{l}}$

Чтобы найти длину нити $l$, выразим ее из данного уравнения. Сначала возведем обе части уравнения в квадрат:

$B^2 = \frac{g}{l}$

Теперь выразим $l$:

$l = \frac{g}{B^2}$

Подставим известные числовые значения в полученную формулу:

$l = \frac{9,8 \text{ м/с}^2}{(2 \text{ рад/с})^2} = \frac{9,8}{4}$ м $= 2,45$ м.

Амплитудное значение силы $F_{max}$ является избыточным данным для нахождения длины нити.

Ответ: длина нити маятника равна 2,45 м.