Номер 36, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

36. Как площадь ромба выражается через его диагонали?

36. Площадь ромба можно выразить через длины его диагоналей. Для вывода формулы воспользуемся ключевыми свойствами ромба.

Ромб — это четырёхугольник, у которого все стороны равны. Его диагонали обладают двумя важными свойствами:

• Они взаимно перпендикулярны.
• В точке пересечения они делятся пополам.

Рассмотрим ромб, диагонали которого имеют длины $d_1$ и $d_2$. Эти диагонали разделяют ромб на четыре конгруэнтных (равных) прямоугольных треугольника.

Каждый из этих треугольников является прямоугольным, так как диагонали пересекаются под прямым углом. Катеты каждого такого треугольника равны половинам диагоналей ромба, то есть их длины составляют $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Следовательно, площадь одного из четырёх треугольников, на которые делится ромб, равна:

$S_{треуг.} = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{d_1}{2}\right) \cdot \left(\frac{d_2}{2}\right) = \frac{d_1 d_2}{8}$

Так как ромб состоит из четырёх таких одинаковых треугольников, его общая площадь $S_{ромба}$ равна учетверённой площади одного треугольника:

$S_{ромба} = 4 \cdot S_{треуг.} = 4 \cdot \frac{d_1 d_2}{8} = \frac{d_1 d_2}{2}$

Таким образом, площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Ответ: Площадь ромба ($S$) выражается через его диагонали ($d_1$ и $d_2$) по формуле: $S = \frac{1}{2} d_1 d_2$.