Номер 2.192, страница 69, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2.192

Сравните дроби:

а) $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{8}{21}$;

б) $\dfrac{4}{15}$ и $\dfrac{2}{5}$;

в) $\dfrac{3}{8}$ и $\dfrac{17}{40}$;

г) $\dfrac{5}{6}$ и $\dfrac{31}{36}$;

д) $\dfrac{1}{6}$ и $\dfrac{4}{21}$;

е) $\dfrac{13}{18}$ и $\dfrac{11}{15}$;

ж) $\dfrac{17}{125}$ и $\dfrac{23}{165}$;

з) $\dfrac{19}{77}$ и $\dfrac{43}{176}$.

2.192

а) $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{8}{21}$

$\text{НОК}(3; 21) = 21$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 {\cdot} 7}{3 {\cdot} 7} = \dfrac{14}{21}$

т. к. $\dfrac{14}{21} > \dfrac{8}{21}$, то $\dfrac{2}{3} > \dfrac{8}{21}$

б) $\dfrac{4}{15}$ и $\dfrac{2}{5}$

$\text{НОК}(15; 5) = 15$

$\dfrac{2}{5} = \dfrac{2 {\cdot} 3}{5 {\cdot} 3} = \dfrac{6}{15}$

т. к. $\dfrac{4}{15} < \dfrac{6}{15}$, то $\dfrac{4}{15} < \dfrac{2}{5}$

в) $\dfrac{3}{8}$ и $\dfrac{17}{40}$

$\text{НОК}(8; 40) = 40$

$\dfrac{3}{8} = \dfrac{3 {\cdot} 5}{8 {\cdot} 5} = \dfrac{15}{40}$

т. к. $\dfrac{15}{40} < \dfrac{17}{40}$, то $\dfrac{3}{8} < \dfrac{17}{40}$

г) $\dfrac{5}{6}$ и $\dfrac{31}{36}$

$\text{НОК}(6; 36) = 36$

$\dfrac{5}{6} = \dfrac{5 {\cdot} 6}{6 {\cdot} 6} = \dfrac{30}{36}$

т. к. $\dfrac{30}{36} < \dfrac{31}{36}$, то $\dfrac{5}{6} < \dfrac{31}{36}$

д) $\dfrac{1}{6}$ и $\dfrac{4}{21}$

$\text{НОК}(6; 21) = 3 {\cdot} 7 {\cdot} 2 = 42$

$\dfrac{1}{6} = \dfrac{1 {\cdot} 7}{6 {\cdot} 7} = \dfrac{7}{42}$

$\dfrac{4}{21} = \dfrac{4 {\cdot} 2}{21 {\cdot} 2} = \dfrac{8}{42}$

т. к. $\dfrac{7}{42} < \dfrac{8}{42}$, то $\dfrac{1}{6} < \dfrac{4}{21}$

е) $\dfrac{13}{18}$ и $\dfrac{11}{15}$

$\text{НОК}(18; 15) = 2 {\cdot} 3 {\cdot} 3 {\cdot} 5 = 90$

$\dfrac{13}{18} = \dfrac{13 {\cdot} 5}{18 {\cdot} 5} = \dfrac{65}{90}$

$\dfrac{11}{15} = \dfrac{11 {\cdot} 6}{15 {\cdot} 6} = \dfrac{66}{90}$

т. к. $\dfrac{65}{90} < \dfrac{66}{90}$, то $\dfrac{13}{18} < \dfrac{11}{15}$

ж) $\dfrac{17}{125}$ и $\dfrac{23}{165}$

$\text{НОК}(125; 165) = 3 {\cdot} 5 {\cdot} 11 {\cdot} 5 {\cdot} 5 = 4125$

$\dfrac{17}{125} = \dfrac{17 {\cdot} 33}{125 {\cdot} 33} = \dfrac{561}{4125}$

$\dfrac{23}{165} = \dfrac{23 {\cdot} 25}{165 {\cdot} 25} = \dfrac{575}{4125}$

т. к. $\dfrac{561}{4125} < \dfrac{575}{4125}$, то $\dfrac{17}{125} < \dfrac{23}{165}$

з) $\dfrac{19}{77}$ и $\dfrac{43}{176}$

$\text{НОК}(77; 176) = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 {\cdot} 11 {\cdot} 7 = 1232$

$\dfrac{19}{77} = \dfrac{19 {\cdot} 16}{77 {\cdot} 16} = \dfrac{304}{1232}$

$\dfrac{43}{176} = \dfrac{43 {\cdot} 7}{176 {\cdot} 7} = \dfrac{301}{1232}$

т. к. $\dfrac{304}{1232} > \dfrac{301}{1232}$, то $\dfrac{19}{77} > \dfrac{43}{176}$

а) Сравнить дроби $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{8}{21} $.
Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 21 — это 21.
Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 21. Для этого умножим числитель и знаменатель на 7:
$ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21} $
Теперь сравним полученную дробь с $ \frac{8}{21} $. Поскольку знаменатели равны, сравниваем числители:
$ 14 > 8 $, следовательно, $ \frac{14}{21} > \frac{8}{21} $.
Это означает, что $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} > \frac{8}{21} $.

б) Сравнить дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{2}{5} $.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 — это 15.
Приведем дробь $ \frac{2}{5} $ к знаменателю 15. Умножим числитель и знаменатель на 3:
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15} $
Теперь сравним дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{6}{15} $. Сравниваем числители:
$ 4 < 6 $, следовательно, $ \frac{4}{15} < \frac{6}{15} $.
Это означает, что $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{15} < \frac{2}{5} $.

в) Сравнить дроби $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{17}{40} $.
Наименьший общий знаменатель для 8 и 40 — это 40.
Приведем дробь $ \frac{3}{8} $ к знаменателю 40. Умножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40} $
Сравним дроби $ \frac{15}{40} $ и $ \frac{17}{40} $. Сравниваем числители:
$ 15 < 17 $, следовательно, $ \frac{15}{40} < \frac{17}{40} $.
Это означает, что $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.
Ответ: $ \frac{3}{8} < \frac{17}{40} $.

г) Сравнить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{31}{36} $.
Наименьший общий знаменатель для 6 и 36 — это 36.
Приведем дробь $ \frac{5}{6} $ к знаменателю 36. Умножим числитель и знаменатель на 6:
$ \frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36} $
Сравним дроби $ \frac{30}{36} $ и $ \frac{31}{36} $. Сравниваем числители:
$ 30 < 31 $, следовательно, $ \frac{30}{36} < \frac{31}{36} $.
Это означает, что $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.
Ответ: $ \frac{5}{6} < \frac{31}{36} $.

д) Сравнить дроби $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{4}{21} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 21. Разложим их на простые множители: $ 6 = 2 \cdot 3 $, $ 21 = 3 \cdot 7 $.
Наименьшее общее кратное (НОК) будет $ 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42 $.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42} $
$ \frac{4}{21} = \frac{4 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{8}{42} $
Сравниваем числители: $ 7 < 8 $, следовательно, $ \frac{7}{42} < \frac{8}{42} $.
Это означает, что $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.
Ответ: $ \frac{1}{6} < \frac{4}{21} $.

е) Сравнить дроби $ \frac{13}{18} $ и $ \frac{11}{15} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 18 и 15. Разложим их на простые множители: $ 18 = 2 \cdot 3^2 $, $ 15 = 3 \cdot 5 $.
НОК(18, 15) = $ 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 $.
Приведем дроби к знаменателю 90:
$ \frac{13}{18} = \frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90} $
$ \frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{66}{90} $
Сравниваем числители: $ 65 < 66 $, следовательно, $ \frac{65}{90} < \frac{66}{90} $.
Это означает, что $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.
Ответ: $ \frac{13}{18} < \frac{11}{15} $.

ж) Сравнить дроби $ \frac{17}{125} $ и $ \frac{23}{165} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 125 и 165. Разложим их на простые множители: $ 125 = 5^3 $, $ 165 = 3 \cdot 5 \cdot 11 $.
НОК(125, 165) = $ 3 \cdot 5^3 \cdot 11 = 3 \cdot 125 \cdot 11 = 4125 $.
Приведем дроби к знаменателю 4125:
$ \frac{17}{125} = \frac{17 \cdot (4125/125)}{4125} = \frac{17 \cdot 33}{4125} = \frac{561}{4125} $
$ \frac{23}{165} = \frac{23 \cdot (4125/165)}{4125} = \frac{23 \cdot 25}{4125} = \frac{575}{4125} $
Сравниваем числители: $ 561 < 575 $, следовательно, $ \frac{561}{4125} < \frac{575}{4125} $.
Это означает, что $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.
Ответ: $ \frac{17}{125} < \frac{23}{165} $.

з) Сравнить дроби $ \frac{19}{77} $ и $ \frac{43}{176} $.
Найдем наименьший общий знаменатель для 77 и 176. Разложим их на простые множители: $ 77 = 7 \cdot 11 $, $ 176 = 16 \cdot 11 = 2^4 \cdot 11 $.
НОК(77, 176) = $ 2^4 \cdot 7 \cdot 11 = 16 \cdot 7 \cdot 11 = 1232 $.
Приведем дроби к знаменателю 1232:
$ \frac{19}{77} = \frac{19 \cdot (1232/77)}{1232} = \frac{19 \cdot 16}{1232} = \frac{304}{1232} $
$ \frac{43}{176} = \frac{43 \cdot (1232/176)}{1232} = \frac{43 \cdot 7}{1232} = \frac{301}{1232} $
Сравниваем числители: $ 304 > 301 $, следовательно, $ \frac{304}{1232} > \frac{301}{1232} $.
Это означает, что $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.
Ответ: $ \frac{19}{77} > \frac{43}{176} $.