Номер 4.345, страница 64, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.345 Какую из дробей можно представить в виде конечной десятичной дроби: $\dfrac{5}{8}$, $\dfrac{19}{21}$, $\dfrac{19}{35}$, $\dfrac{21}{35}$, $\dfrac{11}{250}$, $\dfrac{19}{40}$, $\dfrac{2}{9}$, $\dfrac{5}{12}$, $\dfrac{21}{56}$, $\dfrac{7}{32}$?

Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение её знаменателя на простые множители содержит только числа $2$ и $5$.

Проверим каждую дробь:

1) $\dfrac{5}{8}$ — дробь несократимая, знаменатель $8 = 2 {\cdot} 2 {\cdot} 2 = 2^3$ содержит только множитель $2$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

2) $\dfrac{19}{21}$ — дробь несократимая, знаменатель $21 = 3 {\cdot} 7$ содержит простые множители $3$ и $7$. Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

3) $\dfrac{19}{35}$ — дробь несократимая, знаменатель $35 = 5 {\cdot} 7$ содержит простой множитель $7$. Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

4) $\dfrac{21}{35} = \dfrac{\overset{3}{\cancel{21}}}{\underset{5}{\cancel{35}}} = \dfrac{3}{5}$ — несократимая дробь со знаменателем $5$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

5) $\dfrac{11}{250}$ — дробь несократимая, знаменатель $250 = 2 {\cdot} 5^3$ содержит только множители $2$ и $5$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

6) $\dfrac{19}{40}$ — дробь несократимая, знаменатель $40 = 2^3 {\cdot} 5$ содержит только множители $2$ и $5$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

7) $\dfrac{2}{9}$ — дробь несократимая, знаменатель $9 = 3^2$ содержит простой множитель $3$. Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

8) $\dfrac{5}{12}$ — дробь несократимая, знаменатель $12 = 2^2 {\cdot} 3$ содержит простой множитель $3$. Дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

9) $\dfrac{21}{56} = \dfrac{\overset{3}{\cancel{21}}}{\underset{8}{\cancel{56}}} = \dfrac{3}{8}$ — знаменатель $8 = 2^3$ содержит только множитель $2$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

10) $\dfrac{7}{32}$ — дробь несократимая, знаменатель $32 = 2^5$ содержит только множитель $2$. Дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: в виде конечной десятичной дроби можно представить дроби $\dfrac{5}{8}$, $\dfrac{21}{35}$, $\dfrac{11}{250}$, $\dfrac{19}{40}$, $\dfrac{21}{56}$, $\dfrac{7}{32}$.

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо сначала сократить дробь до несократимого вида, а затем проверить знаменатель. Если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители содержатся только числа 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае — нельзя.

Рассмотрим каждую дробь:

$\frac{5}{8}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{19}{21}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $21 = 3 \times 7$. В разложении знаменателя содержатся множители 3 и 7, которые отличны от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{19}{35}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $35 = 5 \times 7$. В разложении знаменателя содержится множитель 7, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{21}{35}$

Дробь является сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{21}{35} = \frac{21 \div 7}{35 \div 7} = \frac{3}{5}$. Знаменатель полученной несократимой дроби равен 5. В его разложении на простые множители нет чисел, кроме 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{11}{250}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $250 = 25 \times 10 = 5^2 \times 2 \times 5 = 2 \times 5^3$. В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{19}{40}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $40 = 4 \times 10 = 2^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 5$. В разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{2}{9}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $9 = 3^2$. В разложении знаменателя содержится множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{5}{12}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$. В разложении знаменателя содержится множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, дробь нельзя представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: нельзя.

$\frac{21}{56}$

Дробь является сократимой. Сократим ее, разделив числитель и знаменатель на 7: $\frac{21}{56} = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8}$. Разложим знаменатель полученной несократимой дроби на простые множители: $8 = 2^3$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

$\frac{7}{32}$

Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $32 = 2^5$. В разложении знаменателя содержится только множитель 2. Следовательно, дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби.

Ответ: можно.

Итоговый ответ: В виде конечной десятичной дроби можно представить следующие дроби: $\frac{5}{8}$, $\frac{21}{35}$, $\frac{11}{250}$, $\frac{19}{40}$, $\frac{21}{56}$, $\frac{7}{32}$.