вопросы, страница 67, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

Приведите примеры, показывающие справедливость свойств сложения и умножения рациональных чисел. Когда произведение чисел равно нулю; единице?

1. Примеры, показывающие свойства сложения и умножения:

• Переместительное свойство сложения ($a + b = b + a$):
  $5 + 2 = 2 + 5 = 7$
• Сочетательное свойство сложения ($(a + b) + c = a + (b + c)$):
  $(5 + 2) + 1 = 5 + (2 + 1) = 8$
• Переместительное свойство умножения ($a {\cdot} b = b {\cdot} a$):
  $5 {\cdot} 2 = 2 {\cdot} 5 = 10$
• Сочетательное свойство умножения ($(a {\cdot} b) {\cdot} c = a {\cdot} (b {\cdot} c)$):
  $(5 {\cdot} 2) {\cdot} 3 = 5 {\cdot} (2 {\cdot} 3) = 30$
• Распределительное свойство умножения относительно сложения ($(a + b) {\cdot} c = a {\cdot} c + b {\cdot} c$):
  $(5 + 2) {\cdot} 3 = 5 {\cdot} 3 + 2 {\cdot} 3 = 21$
• Свойства сложения с нулём и противоположным числом:
  $6 + 0 = 6$
  $6 + (-6) = 0$
• Свойства умножения на единицу, взаимно обратное число и нуль:
  $8 {\cdot} 1 = 8$
  $8 {\cdot} \dfrac{1}{8} = 1$
  $15 {\cdot} 0 = 0$

2. Ответы на вопросы:

• Произведение чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
• Произведение двух чисел равно единице, если эти числа являются взаимно обратными (например, $a$ и $\dfrac{1}{a}$, где $a \neq 0$).

Примеры, показывающие справедливость свойств сложения и умножения рациональных чисел

Переместительное свойство сложения: $a + b = b + a$. От перестановки слагаемых сумма не меняется. Например, для рациональных чисел $a = -2.5$ и $b = \frac{3}{2}$:

$a + b = -2.5 + \frac{3}{2} = -2.5 + 1.5 = -1$

$b + a = \frac{3}{2} + (-2.5) = 1.5 - 2.5 = -1$

Сочетательное свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Результат сложения трех и более чисел не зависит от порядка действий. Например, для $a = \frac{1}{3}$, $b = \frac{5}{3}$ и $c = -4$:

$(a + b) + c = (\frac{1}{3} + \frac{5}{3}) + (-4) = \frac{6}{3} + (-4) = 2 - 4 = -2$

$a + (b + c) = \frac{1}{3} + (\frac{5}{3} + (-4)) = \frac{1}{3} + (\frac{5}{3} - \frac{12}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} = -2$

Переместительное свойство умножения: $a \cdot b = b \cdot a$. От перестановки множителей произведение не меняется. Например, для $a = -0.4$ и $b = 15$:

$a \cdot b = -0.4 \cdot 15 = -6$

$b \cdot a = 15 \cdot (-0.4) = -6$

Сочетательное свойство умножения: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Результат умножения трех и более чисел не зависит от порядка действий. Например, для $a = -\frac{3}{4}$, $b = -2$ и $c = 1.2$:

$(a \cdot b) \cdot c = (-\frac{3}{4} \cdot (-2)) \cdot 1.2 = \frac{6}{4} \cdot 1.2 = 1.5 \cdot 1.2 = 1.8$

$a \cdot (b \cdot c) = -\frac{3}{4} \cdot (-2 \cdot 1.2) = -\frac{3}{4} \cdot (-2.4) = \frac{3 \cdot 2.4}{4} = \frac{7.2}{4} = 1.8$

Распределительное свойство умножения относительно сложения: $a \cdot (b + c) = ab + ac$. Чтобы умножить число на сумму, можно умножить это число на каждое слагаемое и результаты сложить. Например, для $a = 10$, $b = \frac{1}{2}$ и $c = -0.3$:

$a \cdot (b + c) = 10 \cdot (\frac{1}{2} + (-0.3)) = 10 \cdot (0.5 - 0.3) = 10 \cdot 0.2 = 2$

$ab + ac = 10 \cdot \frac{1}{2} + 10 \cdot (-0.3) = 5 - 3 = 2$

Ответ: Приведенные примеры с рациональными числами демонстрируют справедливость переместительного, сочетательного и распределительного свойств.

Когда произведение чисел равно нулю

Произведение нескольких чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Формально: $a \cdot b \cdot c \cdot ... = 0$ если и только если $a=0$ или $b=0$ или $c=0$ и т.д.

Примеры:

$12.8 \cdot 0 = 0$

$0 \cdot (-\frac{5}{9}) = 0$

$(-3) \cdot 1.5 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$

Ответ: Произведение чисел равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Когда произведение чисел равно единице

Произведение двух чисел равно единице, если эти числа являются взаимно обратными. Для любого ненулевого рационального числа $a$ существует обратное ему число $\frac{1}{a}$, такое что их произведение равно 1.

Формально: $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ для любого $a \neq 0$.

Примеры:

$4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

$(-\frac{7}{2}) \cdot (-\frac{2}{7}) = 1$

$0.25 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$

Произведение также может быть равно 1, например, при умножении единицы на саму себя ($1 \cdot 1 = 1$) или при умножении четного числа минус единиц ($(-1) \cdot (-1) = 1$).

Ответ: Произведение двух чисел равно единице, если они взаимно обратные. Также произведение может быть равно единице в других случаях, например, при умножении единицы на саму себя или при умножении четного числа минус единиц.