Номер 9, страница 82 - гдз по физике 8 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов, Дубина

9. Общее сопротивление двух последовательно соединенных резисторов $R_{\text{пос}} = 100\text{ Ом}$. Если эти резисторы соединить параллельно, их сопротивление будет $R_{\text{пар}} = 21\text{ Ом}$. Определите сопротивление резистора с большим сопротивлением $R_1$.

Дано:

Общее сопротивление при последовательном соединении: $R_{пос} = 100$ Ом

Общее сопротивление при параллельном соединении: $R_{пар} = 21$ Ом

Единицы измерения (Ом) соответствуют системе СИ.

Найти:

Сопротивление резистора с большим сопротивлением $R_1$.

Решение:

Пусть сопротивления двух резисторов равны $R_1$ и $R_2$. По условию, $R_1$ - большее сопротивление.

1. При последовательном соединении общее сопротивление равно сумме сопротивлений:

$R_{пос} = R_1 + R_2$

Подставляя данное значение, получаем первое уравнение:

$R_1 + R_2 = 100$ Ом (1)

2. При параллельном соединении общее сопротивление вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{пар}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$R_{пар} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}$

Подставляя известные значения $R_{пар} = 21$ Ом и $R_1 + R_2 = 100$ Ом, получаем:

$21 = \frac{R_1 \cdot R_2}{100}$

Отсюда находим произведение сопротивлений:

$R_1 \cdot R_2 = 21 \cdot 100 = 2100$ (Ом$^2$) (2)

3. Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} R_1 + R_2 = 100 \\ R_1 \cdot R_2 = 2100 \end{cases}$

Эту систему можно решить, составив квадратное уравнение. Согласно теореме Виета, $R_1$ и $R_2$ являются корнями квадратного уравнения вида $x^2 - (R_1+R_2)x + R_1 \cdot R_2 = 0$.

Подставим наши значения:

$x^2 - 100x + 2100 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2100 = 10000 - 8400 = 1600$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 + \sqrt{1600}}{2} = \frac{100 + 40}{2} = \frac{140}{2} = 70$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{100 - \sqrt{1600}}{2} = \frac{100 - 40}{2} = \frac{60}{2} = 30$

Таким образом, сопротивления резисторов равны 70 Ом и 30 Ом.

По условию, $R_1$ — это резистор с большим сопротивлением. Следовательно, $R_1 = 70$ Ом.

Ответ: $R_1 = 70$ Ом.