Номер 4.291, страница 260 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.291. Найдите третий член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой знаменатель равен 0,4, а сумма прогрессии равна $33\frac{1}{3}$.

Для решения задачи необходимо сначала найти первый член геометрической прогрессии ($b_1$), используя данные о её сумме и знаменателе. Затем, зная первый член, можно будет вычислить третий член ($b_3$).

Шаг 1: Нахождение первого члена прогрессии ($b_1$)

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле: $S = \frac{b_1}{1 - q}$ где $S$ — сумма прогрессии, $b_1$ — её первый член, а $q$ — знаменатель ($|q| < 1$).

По условию задачи даны:

• Сумма прогрессии $S = 33\frac{1}{3}$
• Знаменатель прогрессии $q = 0,4$

Переведем эти значения в обыкновенные дроби для удобства вычислений: $S = 33\frac{1}{3} = \frac{33 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{100}{3}$ $q = 0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

Теперь подставим известные значения в формулу суммы и найдем $b_1$: $\frac{100}{3} = \frac{b_1}{1 - \frac{2}{5}}$

Выполним вычитание в знаменателе: $\frac{100}{3} = \frac{b_1}{\frac{3}{5}}$

Выразим и вычислим $b_1$: $b_1 = \frac{100}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{100 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{100}{5} = 20$ Итак, первый член прогрессии равен 20.

Шаг 2: Нахождение третьего члена прогрессии ($b_3$)

Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Для нахождения третьего члена ($n=3$) подставим в формулу найденное значение $b_1 = 20$ и заданное значение $q = \frac{2}{5}$: $b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$ $b_3 = 20 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 20 \cdot \frac{4}{25} = \frac{20 \cdot 4}{25} = \frac{80}{25}$

Сократим полученную дробь: $b_3 = \frac{80}{25} = \frac{16 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{16}{5}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{16}{5}$ в смешанное число, чтобы выделить целую часть: $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$

Таким образом, третий член прогрессии равен $3\frac{1}{5}$.

Ответ: 3$\frac{1}{5}$