Номер 5, страница 111 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

5. На какой высоте от поверхности Земли сила тяготения, действующая на тело, уменьшится в $k = 3$ раза? Радиус Земли $R_З = 6,4 \cdot 10^6$ м.

Дано:

Найти:

Решение:

Сила тяготения, действующая на тело, описывается законом всемирного тяготения. На поверхности Земли (на расстоянии $R_З$ от её центра) сила тяготения $F_1$ равна:

$F_1 = G \frac{M_З m}{R_З^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная, $M_З$ — масса Земли, $m$ — масса тела.

На высоте $h$ от поверхности Земли расстояние от центра Земли до тела составит $r = R_З + h$. Сила тяготения $F_2$ на этой высоте будет равна:

$F_2 = G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}$

Согласно условию задачи, сила тяготения на высоте $h$ уменьшилась в $k=3$ раза по сравнению с силой на поверхности. Это можно записать как соотношение:

$\frac{F_1}{F_2} = k$

Подставим выражения для сил $F_1$ и $F_2$:

$\frac{G \frac{M_З m}{R_З^2}}{G \frac{M_З m}{(R_З + h)^2}} = k$

После сокращения одинаковых множителей ($G$, $M_З$, $m$) получаем:

$\frac{(R_З + h)^2}{R_З^2} = k$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (так как расстояние не может быть отрицательным):

$\frac{R_З + h}{R_З} = \sqrt{k}$

Выразим из этого уравнения искомую высоту $h$:

$R_З + h = R_З \sqrt{k}$

$h = R_З \sqrt{k} - R_З = R_З(\sqrt{k} - 1)$

Теперь подставим числовые значения, данные в условии:

$h = 6,4 \cdot 10^6 \cdot (\sqrt{3} - 1) \approx 6,4 \cdot 10^6 \cdot (1,732 - 1) = 6,4 \cdot 10^6 \cdot 0,732$

$h \approx 4,6848 \cdot 10^6$ м

Округлив результат до двух значащих цифр, получаем:

$h \approx 4,7 \cdot 10^6$ м, или 4700 км.

Ответ: высота, на которой сила тяготения уменьшится в 3 раза, составляет приблизительно $4,7 \cdot 10^6$ м.