номер 8, страница 159 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

8. Механическая система состоит из двух тел. Может ли импульс одного из тел системы быть больше, чем импульс системы? Ответ аргументируйте.

Да, импульс одного из тел системы может быть по модулю больше, чем импульс всей системы. Это возможно благодаря тому, что импульс является векторной величиной, и импульс системы равен векторной сумме импульсов тел, входящих в эту систему.

Решение

Рассмотрим механическую систему, состоящую из двух тел. Обозначим импульс первого тела как $\vec{p_1}$, а импульс второго тела как $\vec{p_2}$.

Импульс всей системы $\vec{P}_{sys}$ определяется как векторная сумма импульсов ее частей:
$\vec{P}_{sys} = \vec{p_1} + \vec{p_2}$

Модуль импульса системы $P_{sys}$ зависит не только от модулей $p_1 = |\vec{p_1}|$ и $p_2 = |\vec{p_2}|$, но и от угла $\alpha$ между векторами $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$:
$P_{sys} = |\vec{P}_{sys}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 \cos\alpha}$

Мы хотим проверить, может ли выполняться условие $p_1 > P_{sys}$. Это возможно, если векторы импульсов тел направлены так, что они "компенсируют" друг друга. Рассмотрим наиболее простой случай, когда тела движутся в противоположных направлениях. В этой ситуации угол между векторами их импульсов равен $\alpha = 180^\circ$, а $\cos(180^\circ) = -1$.

Тогда модуль импульса системы будет равен:
$P_{sys} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 + 2 p_1 p_2 (-1)} = \sqrt{p_1^2 - 2 p_1 p_2 + p_2^2} = \sqrt{(p_1 - p_2)^2} = |p_1 - p_2|$

Теперь проверим условие $p_1 > P_{sys}$:
$p_1 > |p_1 - p_2|$

Это неравенство будет верным, если $p_2$ не равно нулю. Например, пусть модуль импульса первого тела больше модуля импульса второго тела, то есть $p_1 > p_2$. Тогда $|p_1 - p_2| = p_1 - p_2$.
Неравенство принимает вид:
$p_1 > p_1 - p_2$
Перенеся $p_1$ в левую часть, получим:
$0 > -p_2$
или
$p_2 > 0$

Это условие выполняется всегда, когда второе тело движется (имеет ненулевой импульс).

Пример: Пусть первое тело имеет импульс $p_1 = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и движется вправо, а второе тело имеет импульс $p_2 = 4 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ и движется влево.
Суммарный импульс системы по модулю будет равен $P_{sys} = |10 - 4| = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.
При этом импульс первого тела $p_1 = 10 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$ больше, чем импульс системы $P_{sys} = 6 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Таким образом, если импульсы двух тел направлены в противоположные стороны (или в общем случае под тупым углом друг к другу), то модуль импульса одного из тел (в частности, большего по модулю) может превышать модуль суммарного импульса системы.

Ответ: Да, может. Импульс системы является векторной суммой импульсов тел. Если тела движутся в противоположных направлениях, их импульсы частично или полностью компенсируют друг друга. В результате модуль суммарного импульса системы может оказаться меньше модуля импульса одного из тел.