Номер 868, страница 190 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

868. Вольтметр, подключенный к полюсам источника тока, показал напряжение $U_1 = 10 \text{ В}$. Другой вольтметр, подключенный к тому же источнику вместо первого, показал напряжение $U_2 = 15 \text{ В}$. После соединения этих вольтметров последовательно друг с другом и подключения их к полюсам источника первый вольтметр показал напряжение $U'_1 = 4,0 \text{ В}$, второй — $U'_2 = 12 \text{ В}$. Определите ЭДС источника тока.

Дано:

$U_1 = 10$ В

$U_2 = 15$ В

$U'_1 = 4,0$ В

$U'_2 = 12$ В

Найти:

$\mathcal{E}$

Решение:

Обозначим ЭДС источника как $\mathcal{E}$, а его внутреннее сопротивление как $r$. Сопротивления первого и второго вольтметров обозначим как $R_1$ и $R_2$ соответственно.

1. Когда к источнику подключен только первый вольтметр, он является внешней нагрузкой. Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи равна $I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + r}$. Напряжение, которое показывает вольтметр, равно напряжению на его клеммах: $U_1 = I_1 R_1$. Подставив выражение для тока, получаем:

$U_1 = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + r}$ (1)

2. Аналогично, когда к источнику подключен только второй вольтметр:

$U_2 = \frac{\mathcal{E} R_2}{R_2 + r}$ (2)

3. Когда вольтметры соединены последовательно, их общее сопротивление (внешняя нагрузка) равно $R_{ext} = R_1 + R_2$. Сила тока в цепи в этом случае:

$I' = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_2 + r}$

Напряжения на первом и втором вольтметрах равны:

$U'_1 = I' R_1 = \frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + R_2 + r}$ (3)

$U'_2 = I' R_2 = \frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2 + r}$ (4)

4. Разделим уравнение (4) на уравнение (3), чтобы найти соотношение между сопротивлениями вольтметров:

$\frac{U'_2}{U'_1} = \frac{\frac{\mathcal{E} R_2}{R_1 + R_2 + r}}{\frac{\mathcal{E} R_1}{R_1 + R_2 + r}} = \frac{R_2}{R_1}$

Подставим числовые значения:

$\frac{12}{4} = \frac{R_2}{R_1} \implies \frac{R_2}{R_1} = 3 \implies R_2 = 3R_1$

5. Теперь преобразуем уравнения (1) и (2) для создания системы. Напряжение на клеммах источника также можно выразить как $U = \mathcal{E} - Ir$.

Для первого случая: $U_1 = \mathcal{E} - I_1 r$. Так как $I_1 = \frac{U_1}{R_1}$, то $U_1 = \mathcal{E} - \frac{U_1}{R_1}r$.

$10 = \mathcal{E} - \frac{10}{R_1}r$

Для второго случая: $U_2 = \mathcal{E} - I_2 r$. Так как $I_2 = \frac{U_2}{R_2}$, то $U_2 = \mathcal{E} - \frac{U_2}{R_2}r$.

$15 = \mathcal{E} - \frac{15}{R_2}r$

Подставим в это уравнение $R_2 = 3R_1$:

$15 = \mathcal{E} - \frac{15}{3R_1}r \implies 15 = \mathcal{E} - \frac{5}{R_1}r$

6. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($\mathcal{E}$ и отношение $\frac{r}{R_1}$):

$\begin{cases} 10 = \mathcal{E} - 10 \frac{r}{R_1} \\ 15 = \mathcal{E} - 5 \frac{r}{R_1} \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое:

$(15 - 10) = (\mathcal{E} - 5 \frac{r}{R_1}) - (\mathcal{E} - 10 \frac{r}{R_1})$

$5 = \mathcal{E} - 5 \frac{r}{R_1} - \mathcal{E} + 10 \frac{r}{R_1}$

$5 = 5 \frac{r}{R_1}$

$\frac{r}{R_1} = 1$

7. Подставим найденное отношение $\frac{r}{R_1} = 1$ в первое уравнение системы:

$10 = \mathcal{E} - 10 \cdot 1$

$10 = \mathcal{E} - 10$

$\mathcal{E} = 20$ В

Ответ: ЭДС источника тока равна 20 В.