Номер 73, страница 14 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

73. Точки $P$ и $Q$ отмечены в основании $ABCD$ пирамиды $SABCD$, точки $M$ и $N$ — на ребре $SA$ и в грани $SBC$ соответственно (рис. 38). Сделайте такой рисунок в тетради и постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $M$ и $N$ и параллельной прямой $PQ$.

Для построения искомого сечения пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$, которая проходит через точки $M$ и $N$ и параллельна прямой $PQ$, необходимо выполнить следующую последовательность шагов, основанную на методе следов.

Шаг 1. Нахождение точки секущей плоскости в плоскости основания

Чтобы построить след секущей плоскости на плоскости основания, нам нужна хотя бы одна их общая точка. Найдем точку $K$, в которой прямая $MN$ пересекает плоскость основания $(ABC)$.

1. Точка $N$ лежит в грани $(SBC)$. Проведем прямую через вершину пирамиды $S$ и точку $N$ до пересечения с прямой $BC$, лежащей в основании. Обозначим эту точку $N' = SN \cap BC$.
2. Рассмотрим вспомогательную плоскость $(SAN')$. Точки $M$ (принадлежит $SA$) и $N$ (принадлежит $SN'$) лежат в этой плоскости, а значит, и прямая $MN$ целиком лежит в плоскости $(SAN')$.
3. Плоскость $(SAN')$ пересекает плоскость основания $(ABC)$ по прямой $AN'$.
4. Поскольку прямые $MN$ и $AN'$ лежат в одной плоскости $(SAN')$, мы можем найти их точку пересечения: $K = MN \cap AN'$.
5. Точка $K$ является искомой, так как она одновременно принадлежит секущей плоскости $\alpha$ (поскольку лежит на прямой $MN$) и плоскости основания $(ABC)$ (поскольку лежит на прямой $AN'$).

Шаг 2. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания

След секущей плоскости $\alpha$ на плоскости основания $(ABC)$ — это прямая $l_1$, которая является их линией пересечения.

1. Мы знаем, что $K \in l_1$.
2. По условию задачи, $\alpha || PQ$. Прямая $PQ$ лежит в плоскости $(ABC)$. По свойству параллельности прямой и плоскости, линия пересечения $\alpha$ с плоскостью $(ABC)$ (то есть $l_1$) должна быть параллельна прямой $PQ$. Таким образом, $l_1 || PQ$.
3. Через точку $K$ проводим прямую $l_1$ параллельно $PQ$. Эта прямая и есть след секущей плоскости на плоскости основания.

Шаг 3. Последовательное построение сторон сечения

Теперь, имея след $l_1$, мы можем последовательно найти вершины сечения (точки пересечения плоскости $\alpha$ с ребрами пирамиды) и соединить их.

1. Грань $(SAB)$: Найдем точку пересечения следа $l_1$ с прямой $AB$: $T_1 = l_1 \cap AB$. В грани $(SAB)$ проведем прямую через известные нам точки плоскости $\alpha$: $M$ и $T_1$. Эта прямая пересечет ребро $SB$ в точке $V_1$. $V_1 = MT_1 \cap SB$. Отрезок $MV_1$ — одна из сторон сечения.
2. Грань $(SBC)$: В этой грани нам известны две точки плоскости $\alpha$: точка $N$ (из условия) и точка $V_1$ (построена на ребре $SB$). Проведем через них прямую $NV_1$. Эта прямая пересечет ребро $SC$ в точке $V_2$. $V_2 = NV_1 \cap SC$. Отрезок $V_1V_2$ — вторая сторона сечения.
3. Грань $(SCD)$: Найдем точку пересечения следа $l_1$ с прямой $CD$: $T_2 = l_1 \cap CD$. В грани $(SCD)$ проведем прямую через известные нам точки плоскости $\alpha$: $V_2$ и $T_2$. Эта прямая пересечет ребро $SD$ в точке $V_3$. $V_3 = V_2T_2 \cap SD$. Отрезок $V_2V_3$ — третья сторона сечения.
4. Грань $(SAD)$: В этой грани нам известны точки $M$ на ребре $SA$ и $V_3$ на ребре $SD$, принадлежащие плоскости $\alpha$. Соединяем их отрезком $MV_3$, который является четвертой, замыкающей стороной сечения. Для проверки построения можно убедиться, что точки $M$, $V_3$ и $l_1 \cap AD$ лежат на одной прямой.

В результате выполненных построений мы получаем многоугольник, являющийся искомым сечением. В рассмотренном общем случае это четырехугольник $MV_1V_2V_3$.

Ответ: Искомое сечение — это многоугольник, построенный согласно приведенному алгоритму. В общем случае его вершинами являются точки $M$, $V_1$, $V_2$, $V_3$, лежащие на ребрах $SA$, $SB$, $SC$, $SD$ соответственно.