Номер 76, страница 15 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

76. Имеется куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми:

а) $AA_1$ и $B_1C$;

б) $AA_1$ и $BD$;

в) $AA_1$ и $BD_1$;

г) $AD_1$ и $B_1D$;

д) $AD_1$ и $B_1C$;

е) $AD_1$ и $A_1B$;

ж) $AC_1$ и $B_1C$;

з) $AC_1$ и $A_1D$;

и) $AC_1$ и $D_1C$.

Для решения задачи введём систему координат. Пусть вершина куба $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а рёбра $AB$, $AD$, $AA₁$ лежат на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда координаты вершин куба будут следующими:$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$,$A₁(0,0,a)$, $B₁(a,0,a)$, $C₁(a,a,a)$, $D₁(0,a,a)$. Угол $φ$ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ можно найти по формуле:$cos(φ) = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$

а) AA₁ и B₁C

Прямая $AA₁$ параллельна прямой $BB₁$, поэтому угол между $AA₁$ и $B₁C$ равен углу между $BB₁$ и $B₁C$. Эти прямые пересекаются в точке $B₁$ и образуют угол $∠BB₁C$. Рассмотрим грань $BCC₁B₁$ - это квадрат. Прямая $BB₁$ - сторона этого квадрата, а $B₁C$ - его диагональ. В прямоугольном треугольнике $BB₁C$ (угол $∠B$ прямой, так как ребро $BB₁$ перпендикулярно основанию $ABCD$) катеты $BB₁$ и $BC$ равны $a$. Следовательно, $△BB₁C$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45°$. Таким образом, $∠BB₁C = 45°$.
Ответ: $45°$

б) AA₁ и BD

Ребро $AA₁$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$. Прямая $BD$ лежит в этой плоскости. По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AA₁$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCD$, в том числе и прямой $BD$. Следовательно, угол между ними равен $90°$.
Ответ: $90°$

в) AA₁ и BD₁

Прямая $AA₁$ параллельна прямой $DD₁$, поэтому искомый угол равен углу между $DD₁$ и $BD₁$, то есть $∠BD₁D$. Рассмотрим треугольник $BDD₁$. Он прямоугольный, так как ребро $DD₁$ перпендикулярно плоскости $ABCD$ и, следовательно, прямой $BD$, лежащей в этой плоскости. $∠BDD₁ = 90°$. Длина ребра $DD₁ = a$. $BD$ — диагональ квадрата $ABCD$, поэтому $BD = a\sqrt{2}$.$BD₁$ — главная диагональ куба, её длина $BD₁ = \sqrt{BD^2 + DD₁^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$. Из треугольника $BDD₁$ находим косинус угла $∠BD₁D$:$cos(∠BD₁D) = \frac{DD₁}{BD₁} = \frac{a}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Угол равен $arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$.
Ответ: $arccos(\frac{1}{\sqrt{3}})$

г) AD₁ и B₁D

Найдём направляющие векторы для данных прямых:$\vec{u} = \vec{AD₁} = D₁ - A = (0,a,a) - (0,0,0) = (0, a, a)$.$\vec{v} = \vec{B₁D} = D - B₁ = (0,a,0) - (a,0,a) = (-a, a, -a)$. Найдём их скалярное произведение:$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \cdot (-a) + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми равен $90°$.
Ответ: $90°$

д) AD₁ и B₁C

Прямая $AD₁$ параллельна прямой $BC₁$ (как диагонали противолежащих граней $ADD₁A₁$ и $BCC₁B₁$). Поэтому угол между $AD₁$ и $B₁C$ равен углу между $BC₁$ и $B₁C$. Прямые $BC₁$ и $B₁C$ являются диагоналями квадрата $BCC₁B₁$. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Следовательно, угол между ними равен $90°$.
Ответ: $90°$

е) AD₁ и A₁B

Прямая $A₁B$ параллельна прямой $D₁C$ (так как $A₁BCD₁$ — прямоугольник). Искомый угол равен углу между прямыми $AD₁$ и $D₁C$, то есть $∠AD₁C$. Рассмотрим треугольник $AD₁C$. Длины его сторон:$AD₁$ — диагональ грани $ADD₁A₁$, $AD₁ = a\sqrt{2}$.$D₁C$ — диагональ грани $CDD₁C₁$, $D₁C = a\sqrt{2}$.$AC$ — диагональ грани $ABCD$, $AC = a\sqrt{2}$. Все стороны треугольника $AD₁C$ равны, значит, он равносторонний. Все углы в равностороннем треугольнике равны $60°$. Следовательно, $∠AD₁C = 60°$.
Ответ: $60°$

ж) AC₁ и B₁C

Найдём направляющие векторы для данных прямых:$\vec{u} = \vec{AC₁} = C₁ - A = (a,a,a) - (0,0,0) = (a, a, a)$.$\vec{v} = \vec{B₁C} = C - B₁ = (a,a,0) - (a,0,a) = (0, a, -a)$. Найдём их скалярное произведение:$\vec{u} \cdot \vec{v} = a \cdot 0 + a \cdot a + a \cdot (-a) = 0 + a^2 - a^2 = 0$. Скалярное произведение равно нулю, следовательно, прямые перпендикулярны. Угол между ними равен $90°$.
Ответ: $90°$

з) AC₁ и A₁D

Прямая $A₁D$ параллельна прямой $B₁C$ (так как $A₁D$ и $B₁C$ — диагонали параллельных граней, либо из векторного равенства $\vec{A₁D} = \vec{B₁C} = (0, a, -a)$).Следовательно, угол между $AC₁$ и $A₁D$ равен углу между $AC₁$ и $B₁C$. В пункте (ж) было установлено, что этот угол равен $90°$.
Ответ: $90°$

и) AC₁ и D₁C

Прямая $D₁C$ параллельна прямой $A₁B$ (так как $A₁BCD₁$ — прямоугольник). Следовательно, угол между $AC₁$ и $D₁C$ равен углу между $AC₁$ и $A₁B$. Докажем перпендикулярность прямых $AC₁$ и $A₁B$. Спроектируем наклонную $AC₁$ на плоскость грани $ABB₁A₁$. Проекцией точки $A$ является сама точка $A$, а проекцией точки $C₁$ является точка $B₁$. Таким образом, проекцией прямой $AC₁$ на плоскость $ABB₁A₁$ будет прямая $AB₁$. Прямая $A₁B$ лежит в этой плоскости. Прямые $A₁B$ и $AB₁$ являются диагоналями квадрата $ABB₁A₁$, поэтому они перпендикулярны. Так как прямая $A₁B$, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции $AB₁$ наклонной $AC₁$, то по теореме о трёх перпендикулярах прямая $A₁B$ перпендикулярна и самой наклонной $AC₁$. Следовательно, искомый угол равен $90°$.
Ответ: $90°$