Номер 810, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

810. В треугольнике $ABC$ медиана $AD$ образует угол $30^\circ$ со стороной $AC$ и равна 13 см. Найдите сторону $BC$, учитывая, что $\angle ACB = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADC$. По условию задачи, $AD$ является медианой, проведенной к стороне $BC$, следовательно, точка $D$ — середина стороны $BC$. Нам известны следующие данные для треугольника $ADC$:

1. Длина стороны $AD = 13$ см.

2. Угол $\angle DAC = 30^\circ$.

3. Угол $\angle ACD = \angle ACB = 45^\circ$.

Для нахождения стороны $DC$ воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих им углов равны.

Для треугольника $ADC$ теорема синусов записывается так:

$\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{DC}{\sin(\angle DAC)}$

Выразим из этой формулы искомую сторону $DC$:

$DC = \frac{AD \cdot \sin(\angle DAC)}{\sin(\angle ACD)}$

Теперь подставим известные значения:

$DC = \frac{13 \cdot \sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$ и $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, произведем вычисления:

$DC = \frac{13 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{13}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{13}{\sqrt{2}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$DC = \frac{13 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{13\sqrt{2}}{2}$ см.

Так как $AD$ — это медиана, то она делит сторону $BC$ пополам, то есть $BC = 2 \cdot DC$. Найдем длину стороны $BC$:

$BC = 2 \cdot \frac{13\sqrt{2}}{2} = 13\sqrt{2}$ см.

Ответ: $13\sqrt{2}$ см.