Номер 133, страница 67 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

133. Все рёбра треугольной призмы $XY Z X_1 Y_1 Z_1$ равны между собой, $Q$ — точка пересечения медиан грани $XY Z$. Найдите длину расположенного внутри призмы отрезка прямой, проходящей через середину отрезка $X_1 Q$ и параллельной прямой $Z Q$, учитывая, что площадь боковой поверхности призмы равна $S$.

По условию, все ребра треугольной призмы $XYZX_1Y_1Z_1$ равны между собой. Обозначим длину ребра через $a$. Это означает, что основания призмы ($XYZ$ и $X_1Y_1Z_1$) являются равносторонними треугольниками со стороной $a$, а боковые грани ($XYY_1X_1$, $YZZ_1Y_1$, $ZXX_1Z_1$) — квадратами со стороной $a$. Следовательно, призма является прямой правильной треугольной призмой.

Площадь боковой поверхности призмы $S$ складывается из площадей трех одинаковых квадратных граней. Площадь одной боковой грани (квадрата) равна $a^2$. Следовательно, площадь боковой поверхности призмы: $S = 3a^2$ Отсюда мы можем выразить длину ребра $a$: $a = \sqrt{\frac{S}{3}}$

Точка $Q$ — точка пересечения медиан грани $XYZ$. Так как треугольник $XYZ$ равносторонний, точка $Q$ является его центром. Искомая прямая проходит через точку $M$ — середину отрезка $X_1Q$ — и параллельна прямой $ZQ$. Рассмотрим расположение прямой, используя метод координат. Введем систему координат с началом в вершине $X$, осью $Ox$ вдоль ребра $XY$ и осью $Oz$ вдоль ребра $XX_1$. Координаты вершин основания $XYZ$ будут: $X(0,0,0)$, $Y(a,0,0)$, $Z\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right)$. Координаты вершины $X_1$ равны $X_1(0,0,a)$.

Координаты точки $Q$ (центра треугольника $XYZ$) вычисляются как среднее арифметическое координат его вершин: $Q = \left(\frac{0+a+a/2}{3}, \frac{0+0+a\sqrt{3}/2}{3}, \frac{0+0+0}{3}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}, 0\right)$

Координаты точки $M$, середины отрезка $X_1Q$: $M = \left(\frac{0+a/2}{2}, \frac{0+a\sqrt{3}/6}{2}, \frac{a+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}, \frac{a}{2}\right)$

Прямая $ZQ$ лежит в плоскости основания $z=0$. Вектор $\vec{ZQ}$ является направляющим для искомой прямой. $\vec{ZQ} = Q - Z = \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{6}-\frac{a\sqrt{3}}{2}, 0-0\right) = \left(0, -\frac{a\sqrt{3}}{3}, 0\right)$ Этот вектор параллелен оси $Oy$, следовательно, искомая прямая параллельна оси $Oy$.

Так как искомая прямая проходит через точку $M\left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{12}, \frac{a}{2}\right)$ и параллельна оси $Oy$, она полностью лежит в горизонтальной плоскости $z = \frac{a}{2}$.

Задача сводится к нахождению длины отрезка, который высекает на нашей прямой сечение призмы плоскостью $z = \frac{a}{2}$. Сечением призмы плоскостью $z = \frac{a}{2}$ является равносторонний треугольник $X'Y'Z'$, вершины которого являются серединами боковых ребер. Координаты вершин этого сечения: $X'(0,0,\frac{a}{2})$, $Y'(a,0,\frac{a}{2})$, $Z'(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$.

Искомая прямая $l$ лежит в плоскости этого треугольника. В пространстве она задается системой уравнений: $x = \frac{a}{4}$, $z = \frac{a}{2}$. Нам нужно найти точки пересечения этой прямой со сторонами треугольника $X'Y'Z'$.

Сторона $X'Y'$ лежит на прямой $y=0$ (в плоскости сечения) при $0 \le x \le a$. Прямая $l$ ($x = \frac{a}{4}$) пересекает $X'Y'$ в точке $P_1$ с координатами $\left(\frac{a}{4}, 0, \frac{a}{2}\right)$.

Сторона $X'Z'$ соединяет точки $X'(0,0,\frac{a}{2})$ и $Z'(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, \frac{a}{2})$. Уравнение прямой, содержащей эту сторону, в плоскости $z=\frac{a}{2}$ имеет вид $y=\sqrt{3}x$. Прямая $l$ ($x = \frac{a}{4}$) пересекает $X'Z'$ в точке $P_2$, для которой $y = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{4} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$. Координаты точки $P_2$ равны $\left(\frac{a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, \frac{a}{2}\right)$.

Искомый отрезок, расположенный внутри призмы, — это отрезок $P_1P_2$. Найдем его длину $L$: $L = \sqrt{\left(\frac{a}{4}-\frac{a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}-0\right)^2 + \left(\frac{a}{2}-\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + 0} = \frac{a\sqrt{3}}{4}$

Подставим найденное на первом шаге значение $a = \sqrt{\frac{S}{3}}$ в выражение для длины $L$: $L = \frac{a\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{\frac{S}{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{S}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{S}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{S}}{4}$