Номер 276, страница 88 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

276*. Радиус сферического купола равен $r$, а дуга осевого сечения — $\alpha$. Найдите:

a) длину окружности основания купола;

б) высоту купола.

Для решения задачи рассмотрим осевое сечение сферического купола. Оно представляет собой сегмент круга, радиус которого равен радиусу сферы $r$. По условию, длина дуги этого сечения равна $\alpha$.

Пусть $O$ — центр сферы, из которой вырезан купол. Осевое сечение проходит через этот центр. Пусть $P$ — вершина купола, а хорда $AB$ — диаметр его основания. Тогда дуга $APB$ имеет длину $\alpha$. Центральный угол $\angle AOB$, опирающийся на эту дугу, обозначим как $\theta$ (в радианах). Длина дуги окружности радиуса $r$ с центральным углом $\theta$ вычисляется по формуле $L = r \cdot \theta$. Так как по условию $L = \alpha$, мы имеем $\alpha = r \cdot \theta$. Отсюда можем выразить центральный угол:

$\theta = \frac{\alpha}{r}$

а) длину окружности основания купола;

Основание купола представляет собой окружность. Чтобы найти ее длину $L_{осн}$, нам необходимо сначала определить ее радиус $R_{осн}$. Радиус основания купола равен половине длины хорды $AB$, которая стягивает дугу осевого сечения.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $\triangle AOB$, в котором боковые стороны $OA$ и $OB$ равны радиусу сферы $r$. Проведем высоту $OC$ из центра сферы $O$ к хорде $AB$. Точка $C$ является центром основания купола. Высота $OC$ в равнобедренном треугольнике также является медианой и биссектрисой, поэтому она делит угол $\theta$ пополам: $\angle AOC = \frac{\theta}{2}$. Длина отрезка $AC$ равна радиусу основания $R_{осн}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle AOC$ катет $AC$ (радиус основания) можно найти через гипотенузу $OA = r$ и угол $\angle AOC$:

$R_{осн} = AC = OA \cdot \sin(\angle AOC) = r \cdot \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим ранее найденное выражение для $\theta = \frac{\alpha}{r}$ в эту формулу:

$R_{осн} = r \cdot \sin\left(\frac{\alpha/r}{2}\right) = r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Теперь, зная радиус основания, мы можем найти длину его окружности по формуле $L_{осн} = 2\pi R_{осн}$:

$L_{осн} = 2\pi \cdot r \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Ответ: $2\pi r \sin\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

б) высоту купола.

Высота купола $h$ — это высота сферического сегмента. Она равна расстоянию от вершины купола $P$ до плоскости его основания. В нашем осевом сечении это соответствует длине отрезка $CP$.

Высоту $h$ можно вычислить как разность между радиусом сферы $r$ (отрезок $OP$) и расстоянием от центра сферы до центра основания купола (отрезок $OC$).

$h = OP - OC = r - OC$

Длину отрезка $OC$ найдем из того же прямоугольного треугольника $\triangle AOC$:

$OC = OA \cdot \cos(\angle AOC) = r \cdot \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Подставим $\theta = \frac{\alpha}{r}$:

$OC = r \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)$

Теперь можем найти высоту $h$:

$h = r - r \cdot \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right) = r\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)\right)$

Ответ: $r\left(1 - \cos\left(\frac{\alpha}{2r}\right)\right)$