Номер 733, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

733. Постройте касательную к данной окружности, которая образует данный угол с данной прямой.

Для решения задачи построим касательную к данной окружности $\omega$ с центром в точке $O$, которая образует данный угол $\alpha$ с данной прямой $l$. Решение задачи включает анализ, описание шагов построения, доказательство и исследование количества решений.

Анализ

Предположим, что искомая касательная $t$ построена. Она касается окружности $\omega$ в некоторой точке $P$.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть $OP \perp t$.
2. По условию задачи, угол между касательной $t$ и данной прямой $l$ равен $\alpha$.

Из этих двух свойств следует, что искомая касательная $t$ должна быть параллельна некоторой прямой $m$, которая образует угол $\alpha$ с прямой $l$. В свою очередь, радиус $OP$, проведенный в точку касания $P$, должен быть перпендикулярен этой прямой $m$ (а значит, и самой касательной $t$).

Это позволяет разработать следующий план построения:

1. Сначала находим направление будущей касательной. Для этого строим вспомогательную прямую $m$, образующую угол $\alpha$ с прямой $l$.
2. Затем находим линию, на которой лежит радиус к точке касания. Это прямая $n$, проходящая через центр окружности $O$ и перпендикулярная направлению $m$.
3. Точки пересечения прямой $n$ с окружностью $\omega$ и будут искомыми точками касания.
4. Через найденные точки касания проводим прямые, параллельные $m$, которые и будут искомыми касательными.

Построение

Алгоритм построения искомой касательной (или касательных) с помощью циркуля и линейки состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной прямой $m$ с заданным направлением.
   Выберем на данной прямой $l$ произвольную точку $A$. Построим в точке $A$ угол, равный данному углу $\alpha$, одной стороной которого является луч, лежащий на прямой $l$. Вторая сторона построенного угла задает прямую $m$. Таким образом, прямая $m$ образует с прямой $l$ угол $\alpha$.
2. Построение прямой $n$, содержащей радиус.
   Проведем через центр окружности $O$ прямую $n$, перпендикулярную построенной прямой $m$. Это стандартная задача на построение перпендикуляра из данной точки к данной прямой.
3. Нахождение точек касания.
   Прямая $n$ пересечет окружность $\omega$ в двух точках (в общем случае). Обозначим эти точки $P_1$ и $P_2$. Это и есть искомые точки касания.
4. Построение касательных.
   Через точку $P_1$ проведем прямую $t_1$, параллельную прямой $m$. Аналогично, через точку $P_2$ проведем прямую $t_2$, параллельную прямой $m$. Построение параллельной прямой — также стандартная процедура.

Прямые $t_1$ и $t_2$ являются касательными, удовлетворяющими условию задачи.

Доказательство

Докажем, что построенная прямая $t_1$ является искомой.

• По построению $t_1 \parallel m$. Прямая $m$ была построена так, что угол между ней и прямой $l$ равен $\alpha$. Следовательно, как соответственные углы при параллельных прямых, угол между $t_1$ и $l$ также равен $\alpha$.
• Радиус $OP_1$ лежит на прямой $n$. По построению $n \perp m$. Поскольку $t_1 \parallel m$, то из этого следует, что $n \perp t_1$, а это означает, что $OP_1 \perp t_1$.
• Прямая $t_1$ проходит через точку $P_1$ на окружности и перпендикулярна радиусу $OP_1$, проведенному в эту точку. По определению, $t_1$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $P_1$.

Таким образом, прямая $t_1$ удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой $t_2$.

Исследование количества решений

В шаге 1 построения мы строили прямую $m$, образующую угол $\alpha$ с прямой $l$. Угол $\alpha$ можно отложить по обе стороны от прямой $l$. Это дает два различных (непараллельных) направления для касательной, если $\alpha \ne 90^\circ$ и $\alpha \ne 0^\circ$.

• Направление 1: Построим прямую $m_1$, образующую угол $\alpha$ с $l$. Выполнив шаги 2-4, мы получим две параллельные касательные $t_1$ и $t_2$.
• Направление 2: Построим прямую $m_2$, также образующую угол $\alpha$ с $l$, но симметрично $m_1$ относительно $l$. Повторив для $m_2$ шаги 2-4, мы получим еще две параллельные касательные $t_3$ и $t_4$.

Таким образом, количество решений задачи зависит от данного угла $\alpha$.

• Если $0 < \alpha < 90^\circ$ или $90^\circ < \alpha < 180^\circ$, то существует два различных направления для касательных. Каждое направление дает две касательные. В общем случае задача имеет четыре решения.
• Если $\alpha = 90^\circ$, то оба направления совпадают. В этом случае будет только два решения (две касательные, перпендикулярные $l$).
• Если $\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$, то касательные должны быть параллельны $l$. В этом случае также существует только два решения.
• Задача всегда имеет решение, если только окружность не является точкой.

Ответ: Задача решена. Построение описано выше. В общем случае задача имеет четыре решения, в частных случаях (когда угол прямой или нулевой) — два решения.