Номер 1.148, страница 35, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

1.148 Существуют ли натуральные значения $c$, при которых произведение $31c$ является простым числом?

Простое число — это натуральное число, большее единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя.

Число $31$ является простым. Произведение $31c$ будет иметь делители $1$, $31$, $c$ и $31c$. Чтобы делителей было ровно два, переменная $c$ должна быть равна $1$:

$31c = 31 {\cdot} 1 = 31$ — простое число.

При любом другом натуральном значении $c > 1$ число $31c$ будет составным.

Ответ: существует, при $c = 1$.

По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя.

Нам необходимо определить, существуют ли такие натуральные числа $c$ (то есть $c \in \{1, 2, 3, \dots\}$), при которых произведение $31c$ будет простым.

Рассмотрим делители числа $31c$. Это число всегда делится на 1, на $c$, на 31 и на $31c$. Чтобы число $31c$ было простым, оно должно иметь ровно два делителя.

Рассмотрим два возможных случая для $c$:

1. Пусть $c = 1$.
В этом случае произведение равно $31 \cdot 1 = 31$. Число 31 является простым, так как его единственные натуральные делители — это 1 и 31. Этот случай удовлетворяет условию задачи.

2. Пусть $c > 1$.
Если $c$ — натуральное число больше 1, то у числа $31c$ есть как минимум три различных натуральных делителя: 1, 31 и само число $31c$. Поскольку $c > 1$, то $31c > 31 > 1$, и все три указанных делителя различны. Число, имеющее более двух делителей, является составным, а не простым. Следовательно, при $c > 1$ произведение $31c$ не может быть простым.

Таким образом, существует единственное натуральное значение $c$, при котором произведение $31c$ является простым числом — это $c=1$.

Ответ: да, существует. При $c=1$ произведение равно $31$, что является простым числом.