Номер 4.21, страница 12, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

4.21 Какое число расположено ближе к единице на координатной прямой — неправильная дробь или дробь, ей обратная?

Пусть дана неправильная дробь $\dfrac{a}{b}$, где $a > b > 0$ (дробь строго больше $1$).

Тогда обратная ей дробь равна $\dfrac{b}{a}$, и она является правильной ($\dfrac{b}{a} < 1$).

Найдём расстояние от неправильной дроби до единицы:

$d_1 = \dfrac{a}{b} - 1 = \dfrac{a - b}{b}$

Найдём расстояние от обратной дроби до единицы:

$d_2 = 1 - \dfrac{b}{a} = \dfrac{a - b}{a}$

Сравним полученные расстояния $d_1$ и $d_2$. Так как их числители одинаковы ($a - b > 0$), а в знаменателях $a > b$, то дробь с большим знаменателем меньше:

$\dfrac{a - b}{a} < \dfrac{a - b}{b}$, следовательно, $d_2 < d_1$.

Если неправильная дробь равна $1$ ($a = b$), то обратная ей дробь также равна $1$, и расстояния до единицы равны $0$.

Ответ: ближе к единице расположена дробь, обратная неправильной (если дробь не равна $1$).

Чтобы определить, какое из двух чисел — неправильная дробь или обратная ей дробь — находится ближе к единице на координатной прямой, нам нужно сравнить расстояния от этих чисел до единицы. Расстояние между двумя точками $a$ и $b$ на координатной прямой вычисляется как модуль их разности, то есть $|a - b|$.

Пусть дана неправильная дробь $x = \frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ — натуральные числа и $a > b$. Поскольку числитель больше знаменателя, значение этой дроби больше единицы: $x > 1$.

Дробь, обратная данной, будет $y = \frac{b}{a}$. Так как $a > b$, то обратная дробь будет правильной, и ее значение будет находиться в интервале от 0 до 1: $0 < y < 1$.

Теперь найдем расстояния от каждой из этих дробей до единицы:

• Расстояние от неправильной дроби $x$ до 1: $d_1 = |x - 1|$. Так как $x > 1$, то $x - 1 > 0$, и модуль можно опустить: $d_1 = x - 1$.
• Расстояние от обратной дроби $y$ до 1: $d_2 = |y - 1|$. Так как $y < 1$, то $y - 1 < 0$, и модуль раскрывается как $-(y - 1)$: $d_2 = 1 - y$. Поскольку $y = \frac{1}{x}$, то $d_2 = 1 - \frac{1}{x}$.

Нам нужно сравнить величины $d_1 = x - 1$ и $d_2 = 1 - \frac{1}{x}$. Для этого найдем их разность:

$d_1 - d_2 = (x - 1) - (1 - \frac{1}{x}) = x - 1 - 1 + \frac{1}{x} = x - 2 + \frac{1}{x}$

Приведем выражение к общему знаменателю:

$x - 2 + \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 2x + 1}{x} = \frac{(x-1)^2}{x}$

Проанализируем полученный результат:

• Знаменатель $x$ — это наша неправильная дробь, она положительна ($x > 1$).
• Числитель $(x-1)^2$ — это квадрат разности. Так как $x \neq 1$, то $(x-1)^2$ всегда является строго положительным числом.

Поскольку и числитель, и знаменатель положительны, вся дробь $\frac{(x-1)^2}{x}$ положительна. Это означает, что разность $d_1 - d_2 > 0$, из чего следует, что $d_1 > d_2$.

Таким образом, расстояние от неправильной дроби до единицы ($d_1$) всегда больше, чем расстояние от обратной ей дроби до единицы ($d_2$). Следовательно, дробь, обратная неправильной, всегда расположена ближе к единице.

Пример:

Возьмем неправильную дробь $\frac{5}{2}$.

• Неправильная дробь: $x = \frac{5}{2} = 2.5$.
• Обратная ей дробь: $y = \frac{2}{5} = 0.4$.

Найдем расстояния до единицы:

• Расстояние от $\frac{5}{2}$ до 1: $|\frac{5}{2} - 1| = |\frac{5}{2} - \frac{2}{2}| = \frac{3}{2} = 1.5$.
• Расстояние от $\frac{2}{5}$ до 1: $|1 - \frac{2}{5}| = |\frac{5}{5} - \frac{2}{5}| = \frac{3}{5} = 0.6$.

Сравнивая расстояния $1.5$ и $0.6$, видим, что $0.6 < 1.5$. Значит, число $\frac{2}{5}$ находится ближе к единице, чем $\frac{5}{2}$.

Ответ: Ближе к единице на координатной прямой расположена дробь, обратная неправильной дроби.