Номер 7, страница 122, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

7. Рассчитайте, сколько паркетной доски размером $1 \text{ м } 60 \text{ см}$ на $17 \text{ см}$ надо купить, чтобы застелить пол в комнате размером $5{,}6 \text{ м}$ на $3{,}6 \text{ м}$. Остатки доски меньше $40 \text{ см}$ не использовать.

Переведём все размеры в сантиметры:

Длина доски: $1\text{ м } 60\text{ см} = 160\text{ см}$;

Ширина доски: $17\text{ см}$;

Размеры комнаты: $5{,}6\text{ м} = 560\text{ см}$ и $3{,}6\text{ м} = 360\text{ см}$.

Рассмотрим вариант укладки досок параллельно стороне комнаты длиной $360\text{ см}$:

1) Найдём количество рядов досок:

$560 : 17 = 32{,}94\dots \approx 33\text{ ряда}$ (32 целых ряда по ширине и 1 неполный ряд).

2) Найдём, сколько целых досок укладывается в один ряд длиной $360\text{ см}$ и какой остаток необходим:

$360 : 160 = 2\text{ (ост. } 40\text{ см)}$, то есть на каждый ряд требуется $2$ целые доски и отрезок длиной $40\text{ см}$.

3) По условию остатки меньше $40\text{ см}$ использовать нельзя. Отрезок длиной ровно $40\text{ см}$ разрешён к использованию. Вычислим, сколько таких отрезков можно получить из одной доски:

$160 : 40 = 4\text{ отрезка}$.

4) Найдём количество целых досок для $33$ рядов:

$33 {\cdot} 2 = 66\text{ (досок)}$.

5) Найдём, сколько досок нужно распилить, чтобы получить $33$ отрезка по $40\text{ см}$:

$33 : 4 = 8{,}25 \approx 9\text{ досок}$.

6) Найдём общее количество паркетных досок:

$66 + 9 = 75\text{ (досок)}$.

Примечание: при укладке вдоль стороны $560\text{ см}$ потребовалось бы $22$ ряда по $3$ целых доски и отрезку $80\text{ см}$, что составило бы $22 {\cdot} 3 + 22 : 2 = 77\text{ досок}$. Наиболее экономный вариант — $75$ досок.

Ответ: $75$ досок.

Для решения задачи сначала переведем все размеры в одну единицу измерения — сантиметры (см), так как это позволит избежать ошибок при работе с дробными числами.

Размеры комнаты: длина $5,6$ м = $560$ см, ширина $3,6$ м = $360$ см.

Размеры одной паркетной доски: длина $1$ м $60$ см = $160$ см, ширина $17$ см.

Ограничение по остаткам: куски доски длиной менее $40$ см не используются.

Чтобы определить необходимое количество досок, нужно рассмотреть два возможных варианта их укладки: параллельно длинной стене комнаты и параллельно короткой. Выберем тот вариант, который требует меньшего количества материала.

Вариант 1: Укладка досок параллельно длинной стене (560 см)

При такой укладке ряды досок будут идти вдоль стены длиной 560 см. Ширина комнаты (360 см) будет покрываться рядами досок, каждая из которых имеет ширину 17 см.

1. Сначала найдем необходимое количество рядов. Для этого разделим ширину комнаты на ширину одной доски:$N_{рядов} = \frac{360 \text{ см}}{17 \text{ см}} \approx 21,18$Поскольку количество рядов должно быть целым, округляем результат в большую сторону. Таким образом, потребуется $22$ ряда.

2. Теперь рассчитаем, сколько досок необходимо для укладки одного ряда длиной $560$ см. Длина одной доски составляет $160$ см.$\frac{560 \text{ см}}{160 \text{ см}} = 3,5$Это означает, что на каждый ряд уходит 3 целые доски и один кусок длиной $560 - 3 \times 160 = 560 - 480 = 80$ см.Чтобы получить кусок в $80$ см, нужно распилить целую доску ($160$ см). Остаток от этого распила составит $160 - 80 = 80$ см. Этот остаток больше $40$ см, следовательно, он пригоден для использования.

3. Рассчитаем общее количество досок на все $22$ ряда.Количество досок, укладываемых целиком: $22 \text{ ряда} \times 3 \text{ доски/ряд} = 66$ досок.Кроме того, нам нужно $22$ куска по $80$ см. Из одной целой доски ($160$ см) можно получить два таких куска ($80 \text{ см} + 80 \text{ см}$). Значит, для изготовления $22$ кусков потребуется: $\frac{22}{2} = 11$ досок.Итого, общее количество досок для этого варианта: $66 + 11 = 77$ досок.

Вариант 2: Укладка досок параллельно короткой стене (360 см)

В этом случае ряды досок будут располагаться вдоль стены длиной 360 см. Ширина комнаты (560 см) будет покрываться рядами досок по 17 см.

1. Найдем количество рядов:$N_{рядов} = \frac{560 \text{ см}}{17 \text{ см}} \approx 32,94$Округляем в большую сторону и получаем $33$ ряда.

2. Рассчитаем, сколько досок нужно для одного ряда длиной $360$ см.$\frac{360 \text{ см}}{160 \text{ см}} = 2,25$Это означает, что на каждый ряд уходит 2 целые доски и один кусок. Длина этого куска: $360 - 2 \times 160 = 360 - 320 = 40$ см.Согласно условию, остатки меньше $40$ см не используются. Кусок длиной ровно $40$ см использовать можно. Остаток от распила доски для этого куска составит $160 - 40 = 120$ см, который также пригоден для использования.

3. Рассчитаем общее количество досок на все $33$ ряда.Количество досок, укладываемых целиком: $33 \text{ ряда} \times 2 \text{ доски/ряд} = 66$ досок.Нам необходимо $33$ куска по $40$ см. Из одной целой доски ($160$ см) можно нарезать ровно $160 / 40 = 4$ таких куска.Для изготовления $33$ кусков понадобится: $\lceil \frac{33}{4} \rceil = \lceil 8,25 \rceil = 9$ досок.Итого, общее количество досок для этого варианта: $66 + 9 = 75$ досок.

Сравнив два варианта, мы видим, что второй способ укладки (75 досок) является более экономичным, чем первый (77 досок). Следовательно, для минимизации затрат следует выбрать его.

Ответ: чтобы застелить пол в комнате, надо купить 75 паркетных досок.