Номер 652, страница 119 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

Пучок параллельных лучей света.

Ширина падающего пучка: $\text{a}$.

Среда падения: воздух (показатель преломления $n_1 \approx 1$).

Среда преломления: вода (показатель преломления $n_2 \approx 1.33$).

Угол падения: $\alpha$ (по условию, некоторый угол, т.е. $\alpha > 0$).

Найти:

Сравнить ширину преломленного пучка $\text{b}$ с шириной падающего пучка $\text{a}$.

Решение:

Нет, ширина преломленного пучка не будет такой же, как у падающего. При переходе из воздуха в воду под углом, отличным от нуля, ширина пучка света увеличится. Подтвердим это построением и расчетом.

Выполним построение. Начертим горизонтальную линию, разделяющую две среды: сверху воздух ($n_1$), снизу вода ($n_2$). Направим на эту границу два параллельных луча света, которые являются крайними лучами пучка. Расстояние по перпендикуляру между этими лучами равно ширине падающего пучка $\text{a}$. Лучи падают на границу раздела под углом падения $\alpha$ к нормали (перпендикуляру к границе).

Пусть первый луч падает на границу в точке А, а второй — в точке В. Расстояние между точками А и В вдоль границы раздела обозначим как $\text{L}$. Из прямоугольного треугольника, который можно построить на падающих лучах и отрезке АВ, видно, что ширина пучка $\text{a}$ связана с расстоянием $\text{L}$ следующим соотношением:

$a = L \cdot \cos\alpha$

В точках А и В лучи преломляются, входя в воду. Согласно закону преломления света (закону Снеллиуса):

$n_1 \sin\alpha = n_2 \sin\beta$

где $\beta$ — угол преломления.

Поскольку свет переходит из оптически менее плотной среды (воздух) в оптически более плотную (вода), то есть $n_2 > n_1$, то из закона преломления следует, что угол преломления будет меньше угла падения: $\beta < \alpha$.

Преломленные лучи, вышедшие из точек А и В, также будут параллельны друг другу. Ширина преломленного пучка $\text{b}$ — это перпендикулярное расстояние между этими преломленными лучами. Из геометрии построения для преломленных лучей можно получить аналогичное соотношение между шириной $\text{b}$ и расстоянием $\text{L}$:

$b = L \cdot \cos\beta$

Теперь выразим ширину преломленного пучка $\text{b}$ через ширину падающего пучка $\text{a}$. Из первой формулы выразим $\text{L}$:

$L = \frac{a}{\cos\alpha}$

Подставим это выражение для $\text{L}$ во вторую формулу:

$b = \frac{a}{\cos\alpha} \cdot \cos\beta = a \frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$

Мы установили, что при переходе из воздуха в воду $\alpha > \beta$. Для углов в диапазоне от $0^\circ$ до $90^\circ$ функция косинуса является убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Следовательно, из $\alpha > \beta$ следует, что $\cos\alpha < \cos\beta$.

Таким образом, отношение $\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}$ будет больше единицы. Это означает, что ширина преломленного пучка $\text{b}$ больше ширины падающего пучка $\text{a}$:

$b > a$

Ширина пучка осталась бы неизменной ($a=b$) только в случае нормального падения, когда $\alpha = \beta = 0^\circ$. В условии задачи сказано, что пучок падает "под некоторым углом", что подразумевает $\alpha \neq 0^\circ$.

Ответ:

Нет, ширина преломленного пучка не будет такой же, как у падающего. При падении пучка света под углом из воздуха в воду его ширина увеличится ($b > a$).