Номер 10, страница 65 - гдз по физике 8 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов, Дубина

10. Алиса находится вблизи двух перпендикулярных зеркал. Расстояние от Алисы до плоскости первого зеркала $l_1 = 2,4$ м, а до второго — $l_2 = 1,0$ м. Определите расстояние $\text{L}$ между двумя первыми изображениями Алисы. Размерами Алисы можно пренебречь.

Ответ: ____ м.

Дано:

Расстояние от Алисы до плоскости первого зеркала, $l_1 = 2,4$ м
Расстояние от Алисы до плоскости второго зеркала, $l_2 = 1,0$ м

Все величины даны в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Расстояние $\text{L}$ между двумя первыми изображениями Алисы.

Решение:

Для решения задачи введем декартову систему координат. Расположим два перпендикулярных зеркала вдоль осей координат. Пусть первое зеркало находится в плоскости YZ (его уравнение $x=0$), а второе зеркало — в плоскости XZ (его уравнение $y=0$). Линия их пересечения будет осью Z.

Поскольку размерами Алисы можно пренебречь, будем считать ее материальной точкой. Положение Алисы (точка А) в этой системе будет иметь координаты, равные расстояниям до зеркал: $A(l_1; l_2)$. Подставив числовые значения, получим: $A(2,4; 1,0)$.

Изображение в плоском зеркале является мнимым и находится на том же расстоянии за зеркалом, на каком предмет находится перед ним. Изображение симметрично предмету относительно плоскости зеркала.

Найдем координаты первого изображения Алисы ($I_1$), которое образуется в первом зеркале (плоскость $x=0$). Для этого нужно отразить точку А относительно оси Y, то есть изменить знак ее абсциссы:

$I_1(-l_1; l_2) = I_1(-2,4; 1,0)$.

Теперь найдем координаты второго изображения Алисы ($I_2$), которое образуется во втором зеркале (плоскость $y=0$). Для этого нужно отразить точку А относительно оси X, то есть изменить знак ее ординаты:

$I_2(l_1; -l_2) = I_2(2,4; -1,0)$.

Расстояние $\text{L}$ между двумя точками $I_1(x_1; y_1)$ и $I_2(x_2; y_2)$ в декартовой системе координат вычисляется по формуле:

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Подставим координаты изображений $I_1$ и $I_2$ в эту формулу:

$L = \sqrt{(2,4 - (-2,4))^2 + (-1,0 - 1,0)^2} = \sqrt{(2,4 + 2,4)^2 + (-2,0)^2}$

$L = \sqrt{(4,8)^2 + (-2,0)^2} = \sqrt{23,04 + 4,0} = \sqrt{27,04}$

Вычислив квадратный корень, получаем:

$L = 5,2$ м.

Геометрически, точки A, $I_1$, $I_2$ и точка пересечения зеркал O(0,0) формируют вершины прямоугольника, в котором Алиса и ее изображения находятся в вершинах, а расстояние L является одной из диагоналей. Другой способ найти L — использовать общую формулу, которая следует из наших вычислений:

$L = \sqrt{(2l_1)^2 + (2l_2)^2} = \sqrt{4l_1^2 + 4l_2^2} = 2\sqrt{l_1^2 + l_2^2}$

$L = 2\sqrt{(2,4)^2 + (1,0)^2} = 2\sqrt{5,76 + 1,0} = 2\sqrt{6,76} = 2 \cdot 2,6 = 5,2$ м.

Ответ: 5,2 м.