номер 3, страница 153 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова

3.Легкоатлет массой $m$ бежит по круговой дорожке со скоростью, модуль которой $v$ постоянен. Определите модуль изменения импульса легкоатлета за каждый из промежутков времени: $\Delta t_1 = \frac{T}{4}$, $\Delta t_2 = \frac{T}{2}$, $\Delta t_3 = T$, где $T$ — время, за которое атлет пробегает один круг.

Дано:
$m$ — масса легкоатлета
$v$ — модуль скорости атлета ($v = \text{const}$)
$T$ — период обращения (время одного полного круга)
$\Delta t_1 = \frac{T}{4}$, $\Delta t_2 = \frac{T}{2}$, $\Delta t_3 = T$

Найти:
$|\Delta \vec{p}_1|$, $|\Delta \vec{p}_2|$, $|\Delta \vec{p}_3|$

Решение:
Импульс тела — это векторная величина, определяемая формулой $\vec{p} = m\vec{v}$. Поскольку модуль скорости атлета $v$ постоянен, модуль его импульса в любой момент времени равен: $$p = mv$$ Вектор изменения импульса равен: $$\Delta \vec{p} = \vec{p}_2 - \vec{p}_1 = m(\vec{v}_2 - \vec{v}_1)$$ Модуль изменения импульса определяется по теореме косинусов для разности двух векторов: $$|\Delta \vec{p}| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2 - 2p_1 p_2 \cos\alpha} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2 - 2(mv)^2 \cos\alpha} = mv\sqrt{2(1 - \cos\alpha)}$$ где $\alpha$ — угол между начальным вектором скорости $\vec{v}_1$ и конечным вектором скорости $\vec{v}_2$.

1.Для промежутка времени $\Delta t_1 = \frac{T}{4}$:
За четверть периода атлет проходит четверть окружности, и направление вектора его скорости поворачивается на угол $\alpha = 90^\circ$ (векторы скоростей взаимно перпендикулярны, $\cos 90^\circ = 0$).
По теореме Пифагора для разности перпендикулярных векторов: $$|\Delta \vec{p}_1| = \sqrt{p^2 + p^2} = \sqrt{(mv)^2 + (mv)^2} = \sqrt{2}mv$$

2.Для промежутка времени $\Delta t_2 = \frac{T}{2}$:
За половину периода атлет пробегает половину круга, оказавшись в диаметрально противоположной точке. Направление вектора скорости изменяется на противоположное, то есть $\alpha = 180^\circ$ ($\cos 180^\circ = -1$, векторы противоположно направлены: $\vec{v}_2 = -\vec{v}_1$).
Вычисляем модуль изменения импульса: $$|\Delta \vec{p}_2| = |\vec{p}_2 - \vec{p}_1| = |(-m\vec{v}_1) - m\vec{v}_1| = 2mv$$

3.Для промежутка времени $\Delta t_3 = T$:
За время полного периода атлет совершает полный оборот, возвращаясь в исходную точку траектории. Вектор конечной скорости полностью совпадает с вектором начальной скорости $\vec{v}_2 = \vec{v}_1$, угол $\alpha = 0^\circ$ ($\cos 0^\circ = 1$).
Следовательно: $$|\Delta \vec{p}_3| = |\vec{p}_1 - \vec{p}_1| = 0$$

Ответ:
$|\Delta \vec{p}_1| = \sqrt{2}mv$;
$|\Delta \vec{p}_2| = 2mv$;
$|\Delta \vec{p}_3| = 0$.