номер 2, страница 36 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

2. По реке Неман плывут две моторные лодки. Их координаты изменяются по закону: $x_1 = A_1 + B_1t$, $x_2 = A_2 + B_2t$, где $A_1 = 6,0 \text{ км}$, $B_1 = 9,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$, $A_2 = -6,0 \text{ км}$, $B_2 = 18,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Для каждой лодки найдите начальные координаты и проекции скоростей на ось $Ox$. Изобразите графики движения. Через какое время вторая лодка догонит первую?

Дано:

Уравнение движения первой лодки: $x_1 = A_1 + B_1t$

Уравнение движения второй лодки: $x_2 = A_2 + B_2t$

$A_1 = 6,0 \text{ км}$

$B_1 = 9,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

$A_2 = -6,0 \text{ км}$

$B_2 = 18,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Перевод в систему СИ:

$A_1 = 6,0 \text{ км} = 6000 \text{ м}$

$B_1 = 9,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 9,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 2,5 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

$A_2 = -6,0 \text{ км} = -6000 \text{ м}$

$B_2 = 18,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 18,0 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 5,0 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

1. Начальные координаты $x_{01}, x_{02}$ и проекции скоростей $v_{1x}, v_{2x}$ для каждой лодки.

2. Изобразить графики движения $x_1(t)$ и $x_2(t)$.

3. Время $t_{встр}$, через которое вторая лодка догонит первую.

Решение:

Для каждой лодки найдите начальные координаты и проекции скоростей на ось Ox.

Общий вид уравнения равномерного прямолинейного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$, где $x_0$ — начальная координата, а $v_x$ — проекция скорости на ось Ox.

Сравнивая это уравнение с заданными уравнениями движения лодок, находим искомые величины.

Для первой лодки: $x_1 = A_1 + B_1t$.

Начальная координата: $x_{01} = A_1 = 6,0 \text{ км}$.

Проекция скорости: $v_{1x} = B_1 = 9,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Для второй лодки: $x_2 = A_2 + B_2t$.

Начальная координата: $x_{02} = A_2 = -6,0 \text{ км}$.

Проекция скорости: $v_{2x} = B_2 = 18,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Ответ: Для первой лодки начальная координата $x_{01} = 6,0 \text{ км}$, проекция скорости $v_{1x} = 9,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$. Для второй лодки начальная координата $x_{02} = -6,0 \text{ км}$, проекция скорости $v_{2x} = 18,0 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

Изобразите графики движения.

Графики движения $x(t)$ для обеих лодок представляют собой прямые линии, так как движение равномерное. Для построения каждой прямой достаточно найти координаты двух точек.

Уравнение движения первой лодки: $x_1(t) = 6 + 9t$.

Найдем две точки для графика:

• При $t = 0 \text{ ч}$, $x_1 = 6 + 9 \cdot 0 = 6 \text{ км}$. Точка (0; 6).
• При $t = 1 \text{ ч}$, $x_1 = 6 + 9 \cdot 1 = 15 \text{ км}$. Точка (1; 15).

Уравнение движения второй лодки: $x_2(t) = -6 + 18t$.

Найдем две точки для графика:

• При $t = 0 \text{ ч}$, $x_2 = -6 + 18 \cdot 0 = -6 \text{ км}$. Точка (0; -6).
• При $t = 1 \text{ ч}$, $x_2 = -6 + 18 \cdot 1 = 12 \text{ км}$. Точка (1; 12).

Графики строятся в системе координат $x(t)$, где по оси ординат откладывается координата $x$ (в км), а по оси абсцисс — время $t$ (в ч). График для первой лодки — это прямая, проходящая через точки (0; 6) и (1; 15). График для второй лодки — это прямая, проходящая через точки (0; -6) и (1; 12). Точка пересечения этих прямых соответствует моменту и месту встречи лодок.

Ответ: Графики движения — две прямые линии, заданные уравнениями $x_1(t) = 6 + 9t$ и $x_2(t) = -6 + 18t$. Первая прямая проходит через точки (0; 6) и (1; 15). Вторая прямая проходит через точки (0; -6) и (1; 12).

Через какое время вторая лодка догонит первую?

Вторая лодка догонит первую в тот момент времени $t_{встр}$, когда их координаты будут равны: $x_1(t_{встр}) = x_2(t_{встр})$.

Приравняем правые части уравнений движения:

$A_1 + B_1t_{встр} = A_2 + B_2t_{встр}$

Подставим числовые значения:

$6,0 + 9,0 \cdot t_{встр} = -6,0 + 18,0 \cdot t_{встр}$

Соберем слагаемые с $t_{встр}$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:

$18,0 \cdot t_{встр} - 9,0 \cdot t_{встр} = 6,0 + 6,0$

$9,0 \cdot t_{встр} = 12,0$

Найдем время встречи:

$t_{встр} = \frac{12,0}{9,0} = \frac{4}{3} \text{ ч}$

Переведем это время в часы и минуты:

$\frac{4}{3} \text{ ч} = 1 \frac{1}{3} \text{ ч} = 1 \text{ час} + \frac{1}{3} \cdot 60 \text{ мин} = 1 \text{ час} \ 20 \text{ минут}$.

Ответ: Вторая лодка догонит первую через $\frac{4}{3}$ часа, или через 1 час 20 минут.