номер 8, страница 37 - гдз по физике 9 класс учебник Исаченкова, Сокольский

щегося? Чему равна средняя скорость пути?

8. Пассажирский катер половину времени двигался с постоянной скоростью, модуль которой $v_1 = 30 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$. С какой постоянной скоростью он должен двигаться в том же направлении в течение оставшегося времени, чтобы модуль его средней скорости равнялся $\langle v \rangle = 40 \frac{\text{КМ}}{\text{ч}}$?

Дано:

$v_1 = 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$
$\langle v \rangle = 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$
$t_1 = t_2$ (время движения на участках одинаково)

$v_1 = 30 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{25}{3} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 8,33 \frac{\text{м}}{\text{с}}$
$\langle v \rangle = 40 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = \frac{100}{9} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 11,11 \frac{\text{м}}{\text{с}}$

Найти:

$v_2$

Решение:

Средняя скорость $\langle v \rangle$ по определению равна отношению всего пройденного пути $S_{общ}$ ко всему затраченному времени $t_{общ}$. $$ \langle v \rangle = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} $$ Пусть общее время движения катера равно $t_{общ}$. По условию, первую половину времени $t_1 = t_{общ}/2$ катер двигался со скоростью $v_1$, а вторую половину времени $t_2 = t_{общ}/2$ — со скоростью $v_2$. Общий путь равен сумме путей, пройденных на каждом из участков: $$ S_{общ} = S_1 + S_2 $$ Пути на каждом участке равны: $$ S_1 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \frac{t_{общ}}{2} $$ $$ S_2 = v_2 \cdot t_2 = v_2 \frac{t_{общ}}{2} $$ Тогда общий путь можно выразить как: $$ S_{общ} = v_1 \frac{t_{общ}}{2} + v_2 \frac{t_{общ}}{2} = \frac{(v_1 + v_2)t_{общ}}{2} $$ Подставим это выражение в формулу для средней скорости: $$ \langle v \rangle = \frac{\frac{(v_1 + v_2)t_{общ}}{2}}{t_{общ}} $$ Сократив общее время $t_{общ}$, получим формулу для средней скорости в случае движения в течение двух равных промежутков времени: $$ \langle v \rangle = \frac{v_1 + v_2}{2} $$ Из этой формулы выразим искомую скорость $v_2$: $$ 2\langle v \rangle = v_1 + v_2 $$ $$ v_2 = 2\langle v \rangle - v_1 $$ Подставим числовые значения. Так как все величины даны в км/ч, вычисления удобно проводить в этих же единицах. $$ v_2 = 2 \cdot 40 \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 80 \frac{\text{км}}{\text{ч}} - 30 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 50 \frac{\text{км}}{\text{ч}} $$ Ответ: $50 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.