Номер 5.3, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.3. Разложите на множители многочлен:

a) $x^3 - x^2 - 8x + 12$;

б) $2x^3 + 7x^2 - 28x + 12$;

в) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16$;

г) $6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3.$

а) $x^3 - x^2 - 8x + 12$

• Делители числа 12: $\pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots$
• Проверим $x = 2$: $2^3 - 2^2 - 8(2) + 12 = 8 - 4 - 16 + 12 = 0$. Значит, $(x-2)$ — множитель.
• Разделим многочлен на $(x-2)$ уголком или сгруппируем:
  $x^3 - 2x^2 + x^2 - 2x - 6x + 12 = x^2(x-2) + x(x-2) - 6(x-2) = (x-2)(x^2 + x - 6)$.
• Разложим квадратный трехчлен $x^2 + x - 6$: корнями являются $2$ и $-3$.
  $x^2 + x - 6 = (x-2)(x+3)$.

Ответ: $(x-2)^2(x+3)$

б) $2x^3 + 7x^2 - 28x + 12$

• Проверим корень $x = 2$: $2(8) + 7(4) - 28(2) + 12 = 16 + 28 - 56 + 12 = 0$.
• Делим на $(x-2)$:
  $2x^3 - 4x^2 + 11x^2 - 22x - 6x + 12 = (x-2)(2x^2 + 11x - 6)$.
• Для $2x^2 + 11x - 6$ дискриминант $D = 121 - 4(2)(-6) = 169$. Корни: $x = 0,5$ и $x = -6$.
  $2x^2 + 11x - 6 = 2(x - 0,5)(x + 6) = (2x - 1)(x + 6)$.

Ответ: $(x-2)(2x-1)(x+6)$

в) $x^4 - 3x^3 - 8x^2 + 12x + 16$

• Проверим корень $x = 2$: $16 - 24 - 32 + 24 + 16 = 0$.
• Проверим корень $x = -2$: $16 + 24 - 32 - 24 + 16 = 0$.
• Многочлен делится на $(x-2)(x+2) = x^2-4$.
• Выполним деление: $(x^4 - 4x^2) - 3x^3 + 12x - 4x^2 + 16 = x^2(x^2-4) - 3x(x^2-4) - 4(x^2-4) = (x^2-4)(x^2-3x-4)$.
• Разложим $x^2-3x-4$ (корни $4$ и $-1$): $(x-4)(x+1)$.

Ответ: $(x-2)(x+2)(x-4)(x+1)$

г) $6x^4 - 11x^3 + 9x^2 - 11x + 3$

• Это возвратное уравнение (коэффициенты симметричны относительно центра). Разделим на $x^2$:
  $6x^2 - 11x + 9 - \frac{11}{x} + \frac{3}{x^2} = 0$.
• Группируем: $3(2x^2 + \frac{1}{x^2}) - 11(x + \frac{1}{x}) + 9$. Заметим, что здесь удобнее вынести общий коэффициент за скобки так, чтобы коэффициенты при переменных совпали.
• Проверим корень $x = 1$: $6 - 11 + 9 - 11 + 3 = -4 \neq 0$. Проверим $x = 1/2, 1/3$.
• При $x = 1/2$: $6(1/16) - 11(1/8) + 9(1/4) - 11(1/2) + 3 = 0,375 - 1,375 + 2,25 - 5,5 + 3 \neq 0$.
• При $x = 1/3$: $6/81 - 11/27 + 9/9 - 11/3 + 3 = 2/27 - 11/27 + 1 - 3 \frac{2}{3} + 3 = -1/3 + 4 - 3 \frac{2}{3} = 0$. Корень $x=1/3$, множитель $(3x-1)$.
• Аналогично проверяем корень $x=3$: $6(81) - 11(27) + 9(9) - 11(3) + 3 = 486 - 297 + 81 - 33 + 3 = 240 \neq 0$.
• Разложим делением на $(3x-1)$: $(3x-1)(2x^3 - 3x^2 + 2x - 3)$.
• В скобках группируем: $x^2(2x-3) + 1(2x-3) = (2x-3)(x^2+1)$.

Ответ: $(3x-1)(2x-3)(x^2+1)$