Номер 5.7, страница 33 - гдз по алгебре 10 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.7. Известно, что многочлен $x^4 + 2x^3 - 3x^2 + ax + b$ делится на трехчлен $x^2 + 3x - 1$. Найдите частное от деления первого многочлена на второй и значения коэффициентов $a$ и $b$.

Решение методом деления «уголком»:

Разделим $x^4 + 2x^3 - 3x^2 + ax + b$ на $x^2 + 3x - 1$ пошагово:

1. Первый шаг: Делим $x^4$ на $x^2$. Получаем $x^2$.
   Умножаем $x^2 \cdot (x^2 + 3x - 1) = x^4 + 3x^3 - x^2$.
   Вычитаем из делимого: $(x^4 + 2x^3 - 3x^2) - (x^4 + 3x^3 - x^2) = -x^3 - 2x^2$.
2. Второй шаг: Делим $-x^3$ на $x^2$. Получаем $-x$.
   Умножаем $-x \cdot (x^2 + 3x - 1) = -x^3 - 3x^2 + x$.
   Вычитаем из остатка: $(-x^3 - 2x^2 + ax) - (-x^3 - 3x^2 + x) = x^2 + (a - 1)x$.
3. Третий шаг: Делим $x^2$ на $x^2$. Получаем $1$.
   Умножаем $1 \cdot (x^2 + 3x - 1) = x^2 + 3x - 1$.
   Вычитаем: $(x^2 + (a - 1)x + b) - (x^2 + 3x - 1) = (a - 1 - 3)x + (b + 1)$.

Нахождение коэффициентов:

Так как по условию многочлен делится нацело, остаток должен быть равен нулю:

• $(a - 4)x + (b + 1) = 0$

Это возможно только в случае, если коэффициенты при $x$ и свободный член равны нулю:

1. $a - 4 = 0 \Rightarrow a = 4$
2. $b + 1 = 0 \Rightarrow b = -1$

Частное:

Результат деления мы получили в процессе: $x^2 - x + 1$.

Ответ: Частное — $x^2 - x + 1$; коэффициенты $a = 4, b = -1$.