Номер 300, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс учебник Латотин, Чеботаревский

300. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны $a$. Найдите угол между прямой $AB$ (рис. 287) и прямой:

а) $FF_1$;

б) $CD$;

в) $DE$;

г) $A_1B_1$;

д) $B_1E_1$;

е) $A_1C_1$.

Рис. 287

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все ребра равны $a$. Основания призмы - правильные шестиугольники, а боковые ребра перпендикулярны основаниям.

а) FF₁

Прямая $AB$ лежит в плоскости нижнего основания $(ABC)$. Боковое ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, так как призма правильная. По определению, если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Следовательно, прямая $FF_1$ перпендикулярна прямой $AB$. Угол между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$

б) CD

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CD$ равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые параллельны исходным. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ сторона $CD$ параллельна стороне $AF$. Поэтому искомый угол равен углу между сторонами $AB$ и $AF$. Эти стороны образуют внутренний угол $\angle FAB$ правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного n-угольника вычисляется по формуле: $\frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$. Для шестиугольника ($n=6$) угол равен $\frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = 120^\circ$. Углом между прямыми принято считать наименьший из смежных углов, поэтому искомый угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

в) DE

В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ противолежащие стороны $AB$ и $DE$ параллельны. Следовательно, угол между прямыми $AB$ и $DE$ равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

г) A₁B₁

Поскольку $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - призма, ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ параллельны. Отрезок $A_1B_1$ является результатом параллельного переноса отрезка $AB$. Следовательно, прямая $A_1B_1$ параллельна прямой $AB$. Угол между ними равен $0^\circ$.

Ответ: $0^\circ$

д) B₁E₁

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $B_1E_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $BE$, так как прямая $B_1E_1$ параллельна прямой $BE$. Найдем угол $\angle ABE$ в правильном шестиугольнике $ABCDEF$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда $AB = a$. Диагональ $BE$ является большой диагональю шестиугольника, ее длина $BE = 2a$. Диагональ $AE$ — малая диагональ, ее длина $AE = a\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник $ABE$. Его стороны: $AB = a$, $BE = 2a$, $AE = a\sqrt{3}$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора: $AB^2 + AE^2 = a^2 + (a\sqrt{3})^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2$ и $BE^2 = (2a)^2 = 4a^2$. Так как $AB^2 + AE^2 = BE^2$, треугольник $ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$. Тогда косинус угла $\angle ABE$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе: $\cos(\angle ABE) = \frac{AB}{BE} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$. Отсюда $\angle ABE = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

е) A₁C₁

Угол между скрещивающимися прямыми $AB$ и $A_1C_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AB$ и $AC$, так как $A_1C_1 \parallel AC$. Этот угол есть $\angle BAC$ в основании призмы. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB = BC = a$ (стороны правильного шестиугольника), а $\angle ABC = 120^\circ$ (внутренний угол правильного шестиугольника). Треугольник $ABC$ — равнобедренный, поэтому углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, следовательно, $\angle BAC = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$