Номер 529, страница 174 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

529*. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, высота которой равна $h$, а двугранный угол при основании составляет:

а) $60^\circ$;

б) $\alpha$.

Пусть дана правильная пирамида $SABC...$ с вершиной $S$ и высотой $SO = h$. Шар, вписанный в эту пирамиду, касается основания в его центре $O$ и всех боковых граней. Центр вписанного шара, обозначим его $I$, лежит на высоте пирамиды $SO$. Радиус шара, обозначим его $r$, равен расстоянию от центра $I$ до плоскости основания и до любой боковой грани. Таким образом, $IO = r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$ (где $M$ — середина стороны основания). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$ с прямым углом при вершине $O$. В этом треугольнике $SO = h$ — высота пирамиды, а $OM$ — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды (или апофема основания). Угол $∠SMO$ является линейным углом двугранного угла при основании пирамиды. Обозначим этот угол через $β$.

Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от $I$ до основания равно $IO = r$. Расстояние от $I$ до боковой грани, содержащей апофему $SM$, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $I$ на $SM$. Так как точка $I$ равноудалена от основания (прямая $OM$ в сечении) и боковой грани (прямая $SM$ в сечении), она лежит на биссектрисе угла $∠SMO$.

Таким образом, в треугольнике $SOM$ отрезок $MI$ является биссектрисой угла $∠SMO$, и $∠IMO = β/2$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $IOM$ (угол $∠IOM = 90°$). В нем:$ \text{tg}(\angle IMO) = \frac{IO}{OM} $$ \text{tg}(\frac{\beta}{2}) = \frac{r}{OM} \implies OM = \frac{r}{\text{tg}(\frac{\beta}{2})} $

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$ (угол $∠SOM = 90°$). В нем:$ \text{tg}(\angle SMO) = \frac{SO}{OM} $$ \text{tg}(\beta) = \frac{h}{OM} \implies OM = \frac{h}{\text{tg}(\beta)} $

Приравняем два выражения для $OM$:$ \frac{r}{\text{tg}(\frac{\beta}{2})} = \frac{h}{\text{tg}(\beta)} $

Отсюда выразим радиус $r$:$ r = h \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\beta}{2})}{\text{tg}(\beta)} $

Теперь решим подпункты задачи, используя эту формулу.

а)

По условию, высота пирамиды равна $h$, а двугранный угол при основании $β = 60°$. Найдем радиус $r$ вписанного шара.

Подставляем $β = 60°$ в выведенную формулу:$ r = h \cdot \frac{\text{tg}(\frac{60^\circ}{2})}{\text{tg}(60^\circ)} = h \cdot \frac{\text{tg}(30^\circ)}{\text{tg}(60^\circ)} $

Мы знаем, что $tg(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $tg(60^\circ) = \sqrt{3}$.

$ r = h \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}} = h \cdot \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{h}{3} $

Ответ: $r = \frac{h}{3}$

б)

По условию, высота пирамиды равна $h$, а двугранный угол при основании $β = \alpha$. Найдем радиус $r$ вписанного шара.

Подставляем $β = \alpha$ в выведенную формулу:$ r = h \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{\text{tg}(\alpha)} $

Это уже является решением, но формулу можно упростить, используя тригонометрические тождества. Используем формулу тангенса двойного угла $\text{tg}(\alpha) = \frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}$:$ r = h \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{\frac{2\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}} = h \cdot \frac{1 - \text{tg}^2(\frac{\alpha}{2})}{2} $

Также можно выразить ответ через косинус. Используя $r = h \frac{\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$ (эта формула получается при другом способе решения или преобразовании полученной):$ r = h \cdot \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{\text{tg}(\alpha)} = h \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})} \cdot \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = h \cdot \frac{\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\alpha)}{\cos(\frac{\alpha}{2}) \cdot 2\sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})} = h \cdot \frac{\cos(\alpha)}{2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} $

Так как $2\cos^2(\frac{\alpha}{2}) = 1 + \cos(\alpha)$, получаем:$ r = h \frac{\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)} $Эта форма часто считается более простой.

Ответ: $r = h \frac{\text{tg}(\frac{\alpha}{2})}{\text{tg}(\alpha)}$ или $r = h \frac{\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}$