Номер 2, страница 98, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Виленкин, Жохов

2 Упростите выражение:

а) $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9}x + \dfrac{17}{18}x;$

б) $1\dfrac{2}{7}x+4\dfrac{5}{7}y+2\dfrac{11}{14}x-\dfrac{11}{14}y.$

а) $\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{9}x + \dfrac{17}{18}x =$

$= \Bigl(\dfrac{6}{18} + \dfrac{14}{18} + \dfrac{17}{18}\Bigr)x =$

$= \dfrac{37}{18}x = 2\dfrac{1}{18}x$;

б) ${\color{red}\underline{{\color{black}1\dfrac{2}{7}x}}} + {\color{blue}\underline{\underline{{\color{black}4\dfrac{5}{7}y}}}} + {\color{red}\underline{{\color{black}2\dfrac{11}{14}x}}} - {\color{blue}\underline{\underline{{\color{black}\dfrac{11}{14}y}}}} =$

$= \Bigl(1\dfrac{4}{14} + 2\dfrac{11}{14}\Bigr)x +$

$+ \Bigl(4\dfrac{10}{14} - \dfrac{11}{14}\Bigr)y =$

$= 3\dfrac{15}{14}x + \Bigl(3\dfrac{24}{14} - \dfrac{11}{14}\Bigr)y =$

$= 4\dfrac{1}{14}x + 3\dfrac{13}{14}y$.

а) Чтобы упростить данное выражение, необходимо сложить коэффициенты при переменной $x$, так как все слагаемые являются подобными. Для этого сначала приведем дроби к общему знаменателю.

Исходное выражение: $\frac{1}{3}x + \frac{7}{9}x + \frac{17}{18}x$.

Вынесем $x$ за скобки: $(\frac{1}{3} + \frac{7}{9} + \frac{17}{18})x$.

Наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$, $\frac{7}{9}$ и $\frac{17}{18}$ равен 18. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} = \frac{6}{18}$

$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{14}{18}$

Теперь сложим коэффициенты:

$\frac{6}{18} + \frac{14}{18} + \frac{17}{18} = \frac{6 + 14 + 17}{18} = \frac{37}{18}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{37}{18} = 2\frac{1}{18}$

Домножим полученный коэффициент на $x$:

$2\frac{1}{18}x$

Ответ: $2\frac{1}{18}x$.

б) Для упрощения этого выражения сгруппируем подобные слагаемые (члены с переменной $x$ и члены с переменной $y$) и выполним действия с их коэффициентами.

Исходное выражение: $1\frac{2}{7}x + 4\frac{5}{7}y + 2\frac{11}{14}x - \frac{11}{14}y$.

Группируем слагаемые:

$(1\frac{2}{7}x + 2\frac{11}{14}x) + (4\frac{5}{7}y - \frac{11}{14}y)$

Выносим переменные за скобки:

$(1\frac{2}{7} + 2\frac{11}{14})x + (4\frac{5}{7} - \frac{11}{14})y$

Вычислим сумму коэффициентов при $x$. Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$1\frac{2}{7} + 2\frac{11}{14} = 1\frac{4}{14} + 2\frac{11}{14} = (1+2) + (\frac{4}{14} + \frac{11}{14}) = 3 + \frac{15}{14} = 3 + 1\frac{1}{14} = 4\frac{1}{14}$

Вычислим разность коэффициентов при $y$. Приведем дроби к общему знаменателю 14:

$4\frac{5}{7} - \frac{11}{14} = 4\frac{10}{14} - \frac{11}{14}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$4\frac{10}{14} = 3 + 1 + \frac{10}{14} = 3 + \frac{14}{14} + \frac{10}{14} = 3\frac{24}{14}$

Теперь выполним вычитание:

$3\frac{24}{14} - \frac{11}{14} = 3\frac{24 - 11}{14} = 3\frac{13}{14}$

Подставим полученные коэффициенты обратно в выражение:

$4\frac{1}{14}x + 3\frac{13}{14}y$

Ответ: $4\frac{1}{14}x + 3\frac{13}{14}y$.