Номер 8, страница 77 - гдз по физике 7 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов

8. В цилиндрическом сосуде высотой $h = 75 \text{ см}$ находятся глицерин $(\rho_1 = 1,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3})$ и спирт $(\rho_2 = 0,75 \frac{\text{г}}{\text{см}^3})$, заполнив его доверху. Определите гидростатическое давление на дно сосуда, если объем спирта в 4 раза больше объема глицерина.

Дано:

$h = 75$ см

$\rho_1 = 1,2$ г/см³ (глицерин)

$\rho_2 = 0,75$ г/см³ (спирт)

$V_2 = 4V_1$

Примем $g \approx 10$ Н/кг

$h = 75 \text{ см} = 0,75 \text{ м}$
$\rho_1 = 1,2 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 1,2 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 1,2 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho_2 = 0,75 \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 0,75 \cdot 10^3 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$

Найти:

$\text{P}$ - ?

Решение:

Гидростатическое давление на дно сосуда равно сумме давлений столбов глицерина и спирта. Поскольку жидкости не смешиваются, а плотность глицерина ($\rho_1$) больше плотности спирта ($\rho_2$), глицерин будет находиться внизу, а спирт — наверху.

Общее давление $\text{P}$ на дно сосуда складывается из давления столба глицерина $P_1$ и давления столба спирта $P_2$:

$P = P_1 + P_2 = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2$

где $h_1$ и $h_2$ — высоты столбов глицерина и спирта соответственно.

Общая высота столба жидкости равна высоте сосуда:

$h = h_1 + h_2$

Объемы жидкостей в цилиндрическом сосуде можно выразить через их высоты и площадь основания сосуда $\text{S}$:

$V_1 = S \cdot h_1$

$V_2 = S \cdot h_2$

По условию задачи, объем спирта в 4 раза больше объема глицерина:

$V_2 = 4V_1$

Подставим выражения для объемов:

$S \cdot h_2 = 4 \cdot (S \cdot h_1)$

Сократив на площадь основания $\text{S}$ (так как $S \neq 0$), получаем соотношение между высотами:

$h_2 = 4h_1$

Теперь у нас есть система из двух уравнений для нахождения $h_1$ и $h_2$:

$\begin{cases} h_1 + h_2 = h \\ h_2 = 4h_1 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$h_1 + 4h_1 = h$

$5h_1 = h$

$h_1 = \frac{h}{5} = \frac{0,75 \text{ м}}{5} = 0,15 \text{ м}$

Теперь найдем $h_2$:

$h_2 = 4h_1 = 4 \cdot 0,15 \text{ м} = 0,60 \text{ м}$

Проверим: $h_1 + h_2 = 0,15 \text{ м} + 0,60 \text{ м} = 0,75 \text{ м}$, что соответствует общей высоте сосуда.

Теперь мы можем рассчитать полное гидростатическое давление на дно сосуда:

$P = \rho_1 g h_1 + \rho_2 g h_2 = g (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2)$

Подставим числовые значения:

$P = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot (1200 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,15 \text{ м} + 750 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0,60 \text{ м})$

$P = 10 \cdot (180 + 450) \text{ Па} = 10 \cdot 630 \text{ Па} = 6300 \text{ Па}$

Давление также можно выразить в килопаскалях: $6300 \text{ Па} = 6,3 \text{ кПа}$.

Ответ: $6300 \text{ Па}$ (или $6,3 \text{ кПа}$).