Номер 499, страница 95 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$R_2 = 12$ Ом

$R_3 = 18$ Ом

$R_4 = 20$ Ом

$P_{AB,разомкнут} = P_{AB,замкнут}$

Найти:

$R_1$ - ?

Решение:

Проанализируем схему. Участок AB, состоящий из параллельно соединенных ветвей (одна с резистором $R_1$ и ключом K, другая с последовательно соединенными резисторами $R_2$ и $R_3$), подключен последовательно с резистором $R_4$ к источнику напряжения $\text{U}$. Мощность, потребляемая участком AB, зависит от его эквивалентного сопротивления $R_{AB}$ и общего тока в цепи $\text{I}$.

Общий ток в цепи определяется по закону Ома:

$I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{R_4 + R_{AB}}$

Мощность, выделяемая на участке AB, равна:

$P_{AB} = I^2 \cdot R_{AB} = \left(\frac{U}{R_4 + R_{AB}}\right)^2 \cdot R_{AB} = \frac{U^2 R_{AB}}{(R_4 + R_{AB})^2}$

По условию задачи, мощность на участке AB одинакова при разомкнутом и замкнутом ключе. Обозначим эквивалентное сопротивление участка AB при разомкнутом ключе как $R_{AB,1}$ и при замкнутом ключе как $R_{AB,2}$.

$\frac{U^2 R_{AB,1}}{(R_4 + R_{AB,1})^2} = \frac{U^2 R_{AB,2}}{(R_4 + R_{AB,2})^2}$

Так как $U \neq 0$, получаем:

$\frac{R_{AB,1}}{(R_4 + R_{AB,1})^2} = \frac{R_{AB,2}}{(R_4 + R_{AB,2})^2}$

$R_{AB,1}(R_4^2 + 2R_4 R_{AB,2} + R_{AB,2}^2) = R_{AB,2}(R_4^2 + 2R_4 R_{AB,1} + R_{AB,1}^2)$

$R_{AB,1}R_4^2 + 2R_4 R_{AB,1}R_{AB,2} + R_{AB,1}R_{AB,2}^2 = R_{AB,2}R_4^2 + 2R_4 R_{AB,1}R_{AB,2} + R_{AB,2}R_{AB,1}^2$

$R_{AB,1}R_4^2 - R_{AB,2}R_4^2 = R_{AB,2}R_{AB,1}^2 - R_{AB,1}R_{AB,2}^2$

$R_4^2(R_{AB,1} - R_{AB,2}) = R_{AB,1}R_{AB,2}(R_{AB,1} - R_{AB,2})$

Поскольку при замыкании ключа сопротивление участка AB меняется, $R_{AB,1} \neq R_{AB,2}$, мы можем сократить на $(R_{AB,1} - R_{AB,2})$.

$R_4^2 = R_{AB,1} \cdot R_{AB,2}$

Теперь найдем выражения для $R_{AB,1}$ и $R_{AB,2}$.

1. Ключ K разомкнут.

В этом случае ток через ветвь с резистором $R_1$ не течет. Сопротивление участка AB равно сопротивлению последовательно соединенных резисторов $R_2$ и $R_3$.

$R_{AB,1} = R_2 + R_3 = 12 \text{ Ом} + 18 \text{ Ом} = 30 \text{ Ом}$

2. Ключ K замкнут.

В этом случае ветвь с резистором $R_1$ и ветвь с резисторами $R_2$ и $R_3$ соединены параллельно. Сопротивление второй ветви $R_{23} = R_2 + R_3 = 30$ Ом.

$R_{AB,2} = \frac{R_1 \cdot (R_2 + R_3)}{R_1 + (R_2 + R_3)} = \frac{R_1 \cdot 30}{R_1 + 30}$

Подставим полученные выражения в выведенное нами условие $R_4^2 = R_{AB,1} \cdot R_{AB,2}$:

$(20 \text{ Ом})^2 = 30 \text{ Ом} \cdot \frac{30 \text{ Ом} \cdot R_1}{R_1 + 30 \text{ Ом}}$

$400 = \frac{900 \cdot R_1}{R_1 + 30}$

Разделим обе части на 100:

$4 = \frac{9 \cdot R_1}{R_1 + 30}$

$4(R_1 + 30) = 9 R_1$

$4R_1 + 120 = 9 R_1$

$5R_1 = 120$

$R_1 = \frac{120}{5} = 24 \text{ Ом}$

Ответ: $R_1 = 24$ Ом.