Номер 495, страница 94 - гдз по физике 8 класс сборник задач Исаченкова, Слесарь

Дано:

$\tau_1 = 10 \text{ мин} = 600 \text{ с}$
$\tau_2 = 15 \text{ мин} = 900 \text{ с}$

Найти:

$\tau_{посл} - ?$
$\tau_{пар} - ?$

Решение:

Пусть $\text{Q}$ — количество теплоты, необходимое для доведения воды в чайнике до кипения. Эта величина постоянна во всех рассматриваемых случаях. Согласно закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревательным элементом, равно $Q = P \cdot \tau$, где $\text{P}$ — мощность, а $\tau$ — время работы.

Мощность нагревателя можно выразить через напряжение сети $\text{U}$ и сопротивление элемента $\text{R}$ по формуле $P = \frac{U^2}{R}$. Напряжение в сети $\text{U}$ будем считать постоянным.

Таким образом, $Q = \frac{U^2}{R}\tau$.

Для первого нагревательного элемента с сопротивлением $R_1$:$Q = \frac{U^2}{R_1}\tau_1 \implies R_1 = \frac{U^2\tau_1}{Q}$.

Для второго нагревательного элемента с сопротивлением $R_2$:$Q = \frac{U^2}{R_2}\tau_2 \implies R_2 = \frac{U^2\tau_2}{Q}$.

а) последовательно

При последовательном соединении общее сопротивление цепи $R_{посл}$ равно сумме сопротивлений элементов: $R_{посл} = R_1 + R_2$.

Время закипания $\tau_{посл}$ при таком соединении определяется из того же условия: $Q = \frac{U^2}{R_{посл}}\tau_{посл}$.

Отсюда $\tau_{посл} = \frac{Q \cdot R_{посл}}{U^2} = \frac{Q(R_1 + R_2)}{U^2}$.

Подставим в это выражение найденные ранее формулы для $R_1$ и $R_2$:

$\tau_{посл} = \frac{Q}{U^2} \left( \frac{U^2 \tau_1}{Q} + \frac{U^2 \tau_2}{Q} \right) = \frac{Q}{U^2} \cdot \frac{U^2}{Q}(\tau_1 + \tau_2) = \tau_1 + \tau_2$.

Теперь вычислим значение:

$\tau_{посл} = 10 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 25 \text{ мин}$.

Ответ: 25 мин.

б) параллельно

При параллельном соединении суммарная мощность $P_{пар}$ равна сумме мощностей отдельных элементов: $P_{пар} = P_1 + P_2$.

Мощность первого элемента $P_1 = \frac{Q}{\tau_1}$.

Мощность второго элемента $P_2 = \frac{Q}{\tau_2}$.

Суммарная мощность при параллельном соединении $P_{пар} = \frac{Q}{\tau_{пар}}$, где $\tau_{пар}$ — искомое время закипания.

Подставим выражения для мощностей в уравнение для их сложения:

$\frac{Q}{\tau_{пар}} = \frac{Q}{\tau_1} + \frac{Q}{\tau_2}$.

Разделим обе части уравнения на $\text{Q}$:

$\frac{1}{\tau_{пар}} = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}$.

Выразим $\tau_{пар}$:

$\tau_{пар} = \frac{1}{\frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}} = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2}$.

Теперь вычислим значение:

$\tau_{пар} = \frac{10 \text{ мин} \cdot 15 \text{ мин}}{10 \text{ мин} + 15 \text{ мин}} = \frac{150}{25} \text{ мин} = 6 \text{ мин}$.

Ответ: 6 мин.