Номер 10, страница 93 - гдз по физике 8 класс самостоятельные и контрольные работы Шабусов, Дубина

10. На рис. 11 $\text{AB}$ — предмет, $A'B'$ — его изображение. Перенесите рисунок в тетрадь. Построением найдите положение линзы. Определите фокусное расстояние $\text{F}$ линзы с точностью 0,5 см, считая 1 клеточку за 1 см.

Рис. 11

Дано

Высота предмета, h = 6 клеточек
Высота изображения, h' = 3 клеточки
Расстояние по горизонтали между основанием предмета A и основанием изображения A', AA' = 4 клеточки
Масштаб: 1 клеточка = 1 см

Перевод в СИ:
h = 6 см = 0,06 м
h' = 3 см = 0,03 м
AA' = 4 см = 0,04 м

Найти:

Положение линзы, фокусное расстояние F.

Решение

Изображение A'B' является прямым (неперевернутым), уменьшенным ($h' < h$) и, следовательно, мнимым. Такое изображение предмета может быть получено только с помощью рассеивающей линзы.

Нахождение положения линзы

Для нахождения положения линзы используется свойство луча, проходящего через оптический центр линзы (O) — такой луч не изменяет своего направления. Это означает, что вершина предмета B, вершина ее мнимого изображения B' и оптический центр линзы O лежат на одной прямой. Оптический центр линзы всегда находится на главной оптической оси, которая в данном случае проходит через точки A и A'. Таким образом, для нахождения положения линзы необходимо:

1. Провести прямую через точки B и B'.
2. Найти точку пересечения этой прямой с главной оптической осью (линией AA'). Эта точка и будет оптическим центром O, где расположена линза.

Введем систему координат, в которой точка A находится в начале координат (0,0), а главная оптическая ось совпадает с осью Ox. Координаты точек в сантиметрах: A(0; 0), B(0; 6), A'(4; 0), B'(4; 3). Пусть линза расположена в точке O с координатой $x_O$ на оси Ox. Из подобия треугольников, образованных перпендикулярами из точек B и B' на главную оптическую ось и прямой, проходящей через B, B' и O, следует соотношение:

$ \frac{h}{|x_O - x_A|} = \frac{h'}{|x_O - x_{A'}|} $

Из рисунка видно, что линза находится правее предмета и изображения, поэтому $x_O > x_A$ и $x_O > x_{A'}$.

$ \frac{6}{x_O - 0} = \frac{3}{x_O - 4} $
$ 6(x_O - 4) = 3x_O $
$ 6x_O - 24 = 3x_O $
$ 3x_O = 24 $
$ x_O = 8 $ см.

Таким образом, линза находится на расстоянии 8,0 см от предмета AB.

Ответ: Линза является рассеивающей и расположена на расстоянии 8,0 см от предмета. Порядок расположения на главной оптической оси: предмет - изображение - линза.

Определение фокусного расстояния F

Для определения фокусного расстояния F воспользуемся построением хода луча, идущего от точки B параллельно главной оптической оси. После преломления в рассеивающей линзе его продолжение в обратную сторону должно пройти через главный фокус F и точку мнимого изображения B'.

1. Из точки B проводим луч параллельно главной оптической оси до пересечения с плоскостью линзы в точке C. Координаты точки C: (8; 6).
2. Соединяем точку C с точкой B' (4; 3) и продолжаем эту прямую до пересечения с главной оптической осью. Точка пересечения будет главным фокусом линзы F.

Из подобия треугольников, образованных этим построением (треугольник с вершинами F, O, C и треугольник с вершинами F, A', B'), можно найти положение фокуса F с координатой $x_F$.

$ \frac{A'B'}{|x_{A'} - x_F|} = \frac{OC}{|x_O - x_F|} $
$ \frac{3}{|4 - x_F|} = \frac{6}{|8 - x_F|} $

Из построения видно, что фокус F находится левее точки A', поэтому $x_F < 4$.

$ \frac{3}{4 - x_F} = \frac{6}{8 - x_F} $
$ 3(8 - x_F) = 6(4 - x_F) $
$ 24 - 3x_F = 24 - 6x_F $
$ 3x_F = 0 \implies x_F = 0 $

Главный фокус F совпадает с основанием предмета A. Фокусное расстояние F — это расстояние от оптического центра O до главного фокуса F.

$ F = |x_O - x_F| = |8 - 0| = 8 $ см.

Проверим результат с помощью формулы тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F_{lens}} $.
Расстояние от предмета до линзы $d = 8$ см.
Расстояние от изображения до линзы $\text{f}$. Так как изображение мнимое, $f = -(x_O - x_{A'}) = -(8 - 4) = -4$ см.
$ \frac{1}{8} + \frac{1}{-4} = \frac{1}{F_{lens}} \implies \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{F_{lens}} \implies -\frac{1}{8} = \frac{1}{F_{lens}} \implies F_{lens} = -8 $ см.
Модуль фокусного расстояния равен 8 см, что соответствует результату, полученному построением.

Ответ: Фокусное расстояние линзы F = 8,0 см.