Номер 26, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

26. Сумма квадратов диагоналей ... равна сумме квадратов всех его сторон:

$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$.

В представленном утверждении пропущено название геометрической фигуры, для которой это свойство справедливо. Речь идет о параллелограмме. Утверждение является формулировкой тождества параллелограмма: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его четырех сторон.

Докажем это тождество.

Пусть дан параллелограмм ABCD со сторонами $AB = CD = a$ и $BC = AD = b$. Диагонали параллелограмма — $AC = d_1$ и $BD = d_2$. Пусть угол при вершине A, то есть $\angle DAB$, равен $\alpha$. Поскольку сумма смежных углов параллелограмма равна $180^\circ$, угол при вершине B, $\angle ABC$, будет равен $180^\circ - \alpha$.

1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Применим к нему теорему косинусов для нахождения квадрата диагонали $d_2$:

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle DAB)$

$d_2^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha)$

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Применим к нему теорему косинусов для нахождения квадрата диагонали $d_1$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(180^\circ - \alpha)$

Поскольку по формулам приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, выражение для $d_1^2$ примет вид:

$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab(-\cos(\alpha)) = a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)$

3. Сложим полученные выражения для квадратов диагоналей $d_1^2$ и $d_2^2$:

$d_1^2 + d_2^2 = (a^2 + b^2 + 2ab \cos(\alpha)) + (a^2 + b^2 - 2ab \cos(\alpha))$

При сложении подобные члены с косинусом взаимно уничтожаются:

$d_1^2 + d_2^2 = a^2 + b^2 + a^2 + b^2$

$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$

Таким образом, мы доказали, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (поскольку у параллелограмма две стороны длиной $a$ и две стороны длиной $b$, сумма квадратов сторон равна $a^2 + a^2 + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2$).

Ответ: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$.