Номер 19, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

19. В правильном (равностороннем) треугольнике сторона $a$, радиус $R$ описанной окружности, радиус $r$ вписанной окружности, высота $h$ и площадь $S$ связаны формулами:

$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $S = ...$, $a = R\sqrt{3}$, $r = \frac{1}{2}R$.

Чтобы найти недостающую формулу для площади правильного (равностороннего) треугольника $S$, воспользуемся известной формулой площади треугольника через основание и высоту, а также данной в условии формулой для высоты $h$.

1. Общая формула площади для любого треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

2. В нашем случае, основанием является сторона правильного треугольника, равная $a$.

3. Высота $h$ правильного треугольника со стороной $a$ дана в условии: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

4. Подставим значения основания и высоты в общую формулу площади:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$

5. Упростим полученное выражение, перемножив дроби:

$S = \frac{a \cdot a\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Таким образом, формула для площади правильного треугольника со стороной $a$ имеет вид $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$