Номер 15, страница 218 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

15. У четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных ... равны между собой. И обратно, если ... .

У четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны между собой. И обратно, если у выпуклого четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Данное утверждение известно как теорема Пито и ее обращение. Ниже представлено развернутое доказательство обеих частей этого утверждения.

Часть 1: У четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны между собой.

Это прямая теорема об описанном четырехугольнике, или теорема Пито.

Доказательство:
Пусть четырехугольник $ABCD$ описан около окружности. Обозначим точки касания окружности со сторонами $AB, BC, CD, DA$ как $K, L, M, N$ соответственно.

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны:
$AK = AN$
$BK = BL$
$CL = CM$
$DM = DN$

Выразим длины сторон через эти отрезки и найдем суммы длин противоположных сторон:
Сумма первой пары противоположных сторон: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$.
Сумма второй пары противоположных сторон: $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$.

Используя приведенные выше равенства отрезков касательных, преобразуем выражение для второй суммы:
$BC + DA = (BK + CL) + (DM + AN)$.

Сравнивая полученные выражения для сумм, видим, что они состоят из одних и тех же слагаемых, только сгруппированных по-разному. Следовательно:
$AB + CD = BC + DA$.
Теорема доказана.

Ответ: сторон.

Часть 2: И обратно, если у выпуклого четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Это обратная теорема к теореме Пито.

Доказательство (методом от противного):
Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется равенство $AB + CD = BC + DA$. Предположим, что в этот четырехугольник нельзя вписать окружность.

В любой угол можно вписать окружность. Построим окружность, касающуюся трех сторон четырехугольника: $DA, AB$ и $BC$. (Ее центр будет находиться на пересечении биссектрис углов $A$ и $B$).

Так как по нашему предположению четырехугольник $ABCD$ не является описанным, его четвертая сторона $CD$ не касается этой окружности. Проведем из точки $C$ касательную к построенной окружности (отличную от стороны $BC$), которая пересечет прямую $AD$ в некоторой точке $D_1$.

В результате мы получили четырехугольник $ABCD_1$, который является описанным. По прямой теореме для него выполняется равенство:
$AB + CD_1 = BC + AD_1$ (1)

По условию задачи для исходного четырехугольника $ABCD$ имеем:
$AB + CD = BC + DA$ (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2):
$(AB + CD_1) - (AB + CD) = (BC + AD_1) - (BC + DA)$
$CD_1 - CD = AD_1 - DA$

Рассмотрим это равенство в зависимости от положения точки $D_1$ на прямой $AD$ (случай $D_1 = D$ мы исключаем, так как это означало бы, что четырехугольник описанный, что противоречит предположению).
1. Если точка $D_1$ лежит между точками $A$ и $D$, то $DA = AD_1 + D_1D$, откуда $AD_1 - DA = -D_1D$. Тогда равенство принимает вид $CD_1 - CD = -D_1D$, или $CD = CD_1 + D_1D$. В треугольнике $CDD_1$ одна сторона ($CD$) оказалась равна сумме двух других сторон ($CD_1$ и $D_1D$). Это противоречит неравенству треугольника, согласно которому $CD < CD_1 + D_1D$.
2. Если точка $D$ лежит между точками $A$ и $D_1$, то $AD_1 = DA + DD_1$, откуда $AD_1 - DA = DD_1$. Тогда равенство принимает вид $CD_1 - CD = DD_1$, или $CD_1 = CD + DD_1$. Это также противоречит неравенству треугольника для $\triangle CDD_1$.

Единственный случай, когда противоречия не возникает, это когда длина отрезка $D_1D$ равна нулю, то есть точки $D$ и $D_1$ совпадают. Это означает, что наше исходное предположение (что $CD$ не касается окружности) было неверным. Следовательно, сторона $CD$ касается построенной окружности, и в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Ответ: если у выпуклого четырехугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.