Номер 9, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

9. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения ..., проведенных к его сторонам.

9.

Пропущенное в утверждении словосочетание — серединных перпендикуляров.

Полное утверждение звучит так: Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к его сторонам.

Дадим развернутое объяснение этого геометрического факта.

Описанной около треугольника окружностью называется окружность, проходящая через все три его вершины. Центр этой окружности равноудален от каждой из вершин треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$, и точка $O$ — центр описанной около него окружности. По определению, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны радиусу $R$ этой окружности:

$OA = OB = OC = R$

Теперь вспомним определение серединного перпендикуляра. Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, которая проходит через середину этого отрезка и перпендикулярна ему. Важнейшее свойство серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка равноудалена от концов отрезка.

Рассмотрим это свойство применительно к нашему треугольнику:

1. Поскольку точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $B$ (так как $OA = OB$), она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$.

2. Поскольку точка $O$ равноудалена от вершин $B$ и $C$ (так как $OB = OC$), она лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

3. Аналогично, из равенства $OA = OC$ следует, что точка $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Таким образом, центр описанной окружности $O$ является точкой, принадлежащей всем трем серединным перпендикулярам к сторонам треугольника. Это и означает, что центр описанной окружности есть точка пересечения серединных перпендикуляров.

Ответ: серединных перпендикуляров.