Номер 7, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

7. Площадь треугольника и площадь параллелограмма можно найти по формулам:

$\qquad S_\Delta = \frac{1}{2}ab... \qquad S_{\text{пар}} = ab...$

Данное задание предлагает дополнить стандартные формулы для вычисления площадей треугольника и параллелограмма, когда известны две стороны и угол между ними.

Площадь треугольника

Формула для площади треугольника, представленная в виде $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab...$, является формулой площади через две стороны и синус угла между ними. Если $a$ и $b$ — это длины двух сторон треугольника, а $\gamma$ — угол, заключенный между этими сторонами, то недостающей частью формулы является синус этого угла, то есть $\sin \gamma$. Таким образом, полная формула для вычисления площади треугольника выглядит так: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Ответ: $S_{\triangle} = \frac{1}{2}ab \sin \gamma$.

Площадь параллелограмма

Аналогично, формула для площади параллелограмма, представленная как $S_{\text{пар}} = ab...$, является формулой площади через две смежные стороны и синус угла между ними. Если $a$ и $b$ — это длины двух смежных сторон параллелограмма, а $\alpha$ — угол между ними, то для завершения формулы необходимо добавить синус этого угла, то есть $\sin \alpha$. Площадь параллелограмма равна произведению его смежных сторон на синус угла между ними. Полная формула: $S_{\text{пар}} = ab \sin \alpha$. Эту формулу можно легко получить из более известной формулы площади параллелограмма «произведение основания на высоту» ($S = ah$). Если принять сторону $a$ за основание, то высота $h$, опущенная на эту сторону из вершины, может быть выражена через сторону $b$ и угол $\alpha$ как $h = b \sin \alpha$. Подставив это выражение в формулу, получаем: $S = a \cdot (b \sin \alpha) = ab \sin \alpha$.

Ответ: $S_{\text{пар}} = ab \sin \alpha$.