Номер 3, страница 217 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

3. Формулы для нахождения значений тригонометрических функций тупого угла:

$\sin (180^{\circ} - \alpha) = \sin \alpha$, $\cos (180^{\circ} - \alpha) = -\cos \alpha$,

$\text{tg}(180^{\circ} - \alpha) = \dots$, $\text{ctg}(180^{\circ} - \alpha) = \dots$.

tg(180° – α)
Для вывода формулы для $tg(180° - \alpha)$ воспользуемся определением тангенса как отношения синуса к косинусу: $tg(\beta) = \frac{sin(\beta)}{cos(\beta)}$.
Используя уже данные в задании формулы приведения $sin(180° - \alpha) = sin(\alpha)$ и $cos(180° - \alpha) = -cos(\alpha)$, подставим их в определение тангенса:
$tg(180° - \alpha) = \frac{sin(180° - \alpha)}{cos(180° - \alpha)} = \frac{sin(\alpha)}{-cos(\alpha)} = -(\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)})$
Поскольку $\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} = tg(\alpha)$, итоговая формула имеет вид:
$tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$
Ответ: $-tg(\alpha)$

ctg(180° – α)
Формулу для $ctg(180° - \alpha)$ можно получить аналогичным образом, используя определение котангенса как отношения косинуса к синусу: $ctg(\beta) = \frac{cos(\beta)}{sin(\beta)}$.
Подставим известные формулы приведения:
$ctg(180° - \alpha) = \frac{cos(180° - \alpha)}{sin(180° - \alpha)} = \frac{-cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = -(\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)})$
Так как $\frac{cos(\alpha)}{sin(\alpha)} = ctg(\alpha)$, получаем:
$ctg(180° - \alpha) = -ctg(\alpha)$
Альтернативно, можно было использовать свойство $ctg(\beta) = \frac{1}{tg(\beta)}$. Так как из предыдущего пункта мы знаем, что $tg(180° - \alpha) = -tg(\alpha)$, то:
$ctg(180° - \alpha) = \frac{1}{tg(180° - \alpha)} = \frac{1}{-tg(\alpha)} = -ctg(\alpha)$
Ответ: $-ctg(\alpha)$