Номер 38, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

38. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, делит большее основание на части, равные полусумме и ... оснований.

Для решения этой задачи рассмотрим равнобедренную трапецию, ее свойства и проведем необходимые построения.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD$ — большее основание, а $BC$ — меньшее. Обозначим длины оснований как $a = AD$ и $b = BC$. Проведем из вершины $B$ меньшего основания высоту $BH$ на большее основание $AD$. Эта высота делит основание $AD$ на два отрезка: $AH$ и $HD$. Нам необходимо определить, чему равны длины этих отрезков через длины оснований $a$ и $b$.

Для анализа проведем также вторую высоту $CK$ из вершины $C$ на то же основание $AD$.

1. Поскольку $BC \parallel AD$ (по определению трапеции) и $BH \perp AD$, $CK \perp AD$ (по построению), то четырехугольник $BCKH$ является прямоугольником. Следовательно, его противоположные стороны равны: $HK = BC = b$.

2. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$.

• $AB = CD$ (так как трапеция равнобедренная).
• $BH = CK$ (как высоты, проведенные между параллельными прямыми).

Следовательно, треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle DCK$ равны по гипотенузе и катету.

3. Из равенства треугольников следует, что их соответствующие катеты также равны: $AH = DK$.

4. Большее основание $AD$ состоит из трех отрезков: $AD = AH + HK + KD$. Подставим известные нам соотношения: $a = AH + b + DK$.

5. Так как $AH = DK$, мы можем записать: $a = AH + b + AH$, что равносильно $a = 2 \cdot AH + b$. Выразим отсюда длину отрезка $AH$:

$2 \cdot AH = a - b$

$AH = \frac{a - b}{2}$

Эта величина называется полуразностью оснований.

6. Теперь найдем длину второго отрезка, $HD$. Она равна сумме длин отрезков $HK$ и $KD$: $HD = HK + KD$.

Подставим известные значения: $HK = b$ и $KD = AH = \frac{a - b}{2}$.

$HD = b + \frac{a - b}{2} = \frac{2b}{2} + \frac{a - b}{2} = \frac{2b + a - b}{2} = \frac{a + b}{2}$

Эта величина является полусуммой оснований.

Таким образом, высота, проведенная из вершины меньшего основания равнобедренной трапеции, делит большее основание на два отрезка. Один из них (больший, $HD$) равен полусумме оснований, а другой (меньший, $AH$) — полуразности оснований.

В предложении, которое нужно дополнить, уже упомянута полусумма. Следовательно, пропущено слово "полуразности".

Ответ: полуразности.