Номер 32, страница 215 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

32. Биссектрисы соседних углов параллелограмма. Взаимно ...,

Утверждение, которое нужно завершить, является свойством параллелограмма. Чтобы найти пропущенное слово, докажем это свойство.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Рассмотрим два его соседних угла, например, угол при вершине $A$ и угол при вершине $B$. Согласно свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Таким образом, мы можем записать:

$\angle A + \angle B = 180^\circ$.

Проведем биссектрисы этих углов. Пусть биссектриса угла $A$ и биссектриса угла $B$ пересекаются в точке $K$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Следовательно, биссектриса угла $A$ образует угол $\angle KAB$, равный половине угла $A$: $\angle KAB = \frac{1}{2}\angle A$. Аналогично, биссектриса угла $B$ образует угол $\angle KBA$, равный половине угла $B$: $\angle KBA = \frac{1}{2}\angle B$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $\triangle ABK$ это записывается так:

$\angle KAB + \angle KBA + \angle AKB = 180^\circ$.

Подставим в это уравнение выражения для углов $\angle KAB$ и $\angle KBA$:

$\frac{1}{2}\angle A + \frac{1}{2}\angle B + \angle AKB = 180^\circ$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\frac{1}{2}(\angle A + \angle B) + \angle AKB = 180^\circ$.

Мы знаем, что $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Подставим это значение в наше уравнение:

$\frac{1}{2}(180^\circ) + \angle AKB = 180^\circ$.

Выполним вычисления:

$90^\circ + \angle AKB = 180^\circ$.

Из этого уравнения находим угол $\angle AKB$, который является углом между биссектрисами:

$\angle AKB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол между биссектрисами соседних углов параллелограмма равен $90^\circ$, это означает, что они взаимно перпендикулярны.

Ответ: перпендикулярны.