Номер 27, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

27. Произведения отрезков пересекающихся хорд ...

Произведения отрезков пересекающихся хорд ...

Это название теоремы в евклидовой геометрии, которая описывает свойство отрезков, образующихся при пересечении двух хорд внутри окружности. Ниже приведено полное изложение и доказательство этой теоремы.

Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Рассмотрим утверждение более формально:

Дано: В окружности проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются в точке P.

Доказать: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Доказательство:

Для доказательства соединим отрезками точки A и C, а также точки D и B, чтобы образовать два треугольника: $ \triangle APC $ и $ \triangle DPB $.

Рассмотрим эти два треугольника. Мы можем доказать, что они подобны, по первому признаку подобия треугольников (по двум равным углам).

1. Углы $ \angle APC $ и $ \angle DPB $ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении хорд AB и CD. Таким образом, $ \angle APC = \angle DPB $.

2. Углы $ \angle PAC $ (он же $ \angle CAB $) и $ \angle PDC $ (он же $ \angle CDB $) равны. Оба этих угла являются вписанными углами в окружность, и они опираются на одну и ту же дугу CB. Свойство вписанных углов гласит, что все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Следовательно, $ \angle PAC = \angle PDC $.

Поскольку два угла треугольника $ \triangle APC $ соответственно равны двум углам треугольника $ \triangle DPB $, эти треугольники подобны: $ \triangle APC \sim \triangle DPB $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон. Соответствующими являются стороны, лежащие напротив равных углов. В нашем случае:

$ \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB} $

Здесь AP и DP лежат напротив углов $ \angle PCA $ и $ \angle PBD $ соответственно (которые также равны, так как опираются на дугу AD), а CP и PB лежат напротив равных углов $ \angle PAC $ и $ \angle PDC $.

Применив основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), мы получаем из равенства $ \frac{AP}{DP} = \frac{CP}{PB} $ следующее:

$ AP \cdot PB = CP \cdot PD $

Таким образом, теорема доказана.

Ответ: Если две хорды AB и CD пересекаются в точке P, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $ AP \cdot PB = CP \cdot PD $.