Номер 24, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

24. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — ...

Данное утверждение является теоремой из геометрии, и чтобы его закончить, нужно вписать слово «прямой» или фразу «равен 90°». Таким образом, полное утверждение звучит: вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Для полноты ответа приведём доказательство этой теоремы.

Теорема. Вписанный угол, который опирается на диаметр окружности, является прямым.

Доказательство 1 (через свойства равнобедренных треугольников).

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и диаметром $AB$. Пусть $C$ — произвольная точка на окружности, отличная от $A$ и $B$. Угол $\angle ACB$ — это вписанный угол, опирающийся на диаметр $AB$. Нам необходимо доказать, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Проведём отрезок $OC$, который является радиусом. Отрезки $OA$ и $OB$ также являются радиусами. Следовательно, $OA = OB = OC = r$, где $r$ — радиус окружности.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Поскольку $OA = OC$, он равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle OAC = \angle OCA$. Обозначим эти углы как $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle BOC$. Он также равнобедренный, так как $OB = OC$. Следовательно, $\angle OBC = \angle OCB$. Обозначим эти углы как $\beta$.

Угол $\angle ACB$ состоит из двух углов, $\angle OCA$ и $\angle OCB$. Его величина равна их сумме: $\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB = \alpha + \beta$.

Теперь обратимся к треугольнику $\triangle ABC$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:

$\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180^\circ$

Заменим углы на их обозначения:

$\alpha + \beta + (\alpha + \beta) = 180^\circ$

$2\alpha + 2\beta = 180^\circ$

$2(\alpha + \beta) = 180^\circ$

Разделив обе части на 2, получим:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Поскольку $\angle ACB = \alpha + \beta$, мы заключаем, что $\angle ACB = 90^\circ$. Что и требовалось доказать.

Доказательство 2 (через центральный и вписанный углы).

Эта теорема является частным случаем теоремы о вписанном угле. Теорема о вписанном угле гласит, что его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Поскольку хорда $AB$ является диаметром, она делит окружность на две полуокружности. Градусная мера всей окружности — $360^\circ$, значит, градусная мера полуокружности равна $180^\circ$.

Следовательно, величина угла $\angle ACB$ равна половине градусной меры дуги $AB$:

$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$.

Оба доказательства приводят к одному и тому же выводу.

Ответ: прямой.