Номер 29, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

29. Для касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат отрезка касательной равен произведению большего отрезка секущей на его ... часть.

Данный вопрос относится к теореме о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Эта теорема является важным свойством в евклидовой геометрии и частным случаем теоремы о степени точки относительно окружности.

Сформулируем и докажем эту теорему, чтобы дать развернутый ответ.

Пусть из точки M, находящейся вне окружности, проведены:

• Касательная, которая касается окружности в точке A. Отрезок MA — это отрезок касательной.
• Секущая, которая пересекает окружность в двух точках B и C. Для определенности, пусть точка B будет ближней к M, а C — дальней. Тогда MC — это полный отрезок секущей, а MB — это ее внешняя часть.

Теорема о касательной и секущей гласит: квадрат длины отрезка касательной равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

В виде формулы это записывается так:

$MA^2 = MC \cdot MB$

Теперь проанализируем фразу из задания: "Для касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат отрезка касательной равен произведению большего отрезка секущей на его ... часть."

• "Квадрат отрезка касательной" соответствует $MA^2$.
• "Больший отрезок секущей" — это отрезок от точки M до дальней точки пересечения с окружностью, то есть MC. Он действительно является большим по сравнению с его частью MB.
• "на его ... часть" — это второй множитель в произведении. Согласно формуле, это MB.

Отрезок MB — это та часть секущей, которая находится за пределами окружности. В геометрии она называется внешней частью секущей.

Слово "часть" женского рода. Прилагательное, которое его описывает, должно стоять в винительном падеже (отвечая на вопрос "на какую часть?"). Поэтому пропущенное слово — "внешнюю".

Таким образом, полностью утверждение звучит: "Для касательной и секущей, проведенных из одной точки к окружности, квадрат отрезка касательной равен произведению большего отрезка секущей на его внешнюю часть".

Доказательство теоремы

Для доказательства рассмотрим треугольники $\triangle MBA$ и $\triangle MAC$.

1. Угол $\angle M$ (или $\angle AMC$) является общим для обоих треугольников.
2. Угол между касательной MA и хордой AC, то есть $\angle MAC$, по теореме об угле между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги AC, которую он стягивает.
3. Вписанный угол $\angle ABC$ (он же $\angle MBC$) также опирается на дугу AC и поэтому тоже равен ее половине.
4. Следовательно, мы имеем равенство углов: $\angle MAC = \angle MBC$.

Так как два угла одного треугольника ($\triangle MAC$) равны двум углам другого треугольника ($\triangle MBA$), а именно $\angle M$ — общий и $\angle MAC = \angle MBA$, то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
$\triangle MAC \sim \triangle MBA$
Из подобия следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{MA}{MB} = \frac{MC}{MA} = \frac{AC}{BA}$
Из равенства первых двух отношений $\frac{MA}{MB} = \frac{MC}{MA}$, применяя правило перекрестного умножения, получаем:
$MA \cdot MA = MC \cdot MB$
$MA^2 = MC \cdot MB$
Теорема доказана.

Ответ: внешнюю