номер 26, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

26. Угол между секущими, выходящими из точки вне окружности, равен ... градусных мер дуг, заключенных внутри угла.

26. Угол между секущими, выходящими из точки вне окружности, равен полуразности градусных мер дуг, заключенных внутри угла.

Подробное объяснение и доказательство

Это утверждение является теоремой планиметрии. Докажем его.

Пусть из точки $P$, расположенной вне окружности, проведены две секущие, которые пересекают окружность в точках $A$, $B$ и $C$, $D$. Примем, что точка $A$ лежит на отрезке $PB$, а точка $C$ — на отрезке $PD$. Угол между секущими — это $\angle APD$. Дуги, заключенные внутри этого угла, — это ближняя дуга $AC$ и дальняя дуга $BD$.

Теорема утверждает, что величина угла $\angle P$ равна половине разности градусных мер большей (дальней) и меньшей (ближней) дуг, высекаемых секущими на окружности.

Формулировка в виде уравнения:

$\angle P = \frac{1}{2} (\text{m}(\overset{\frown}{BD}) - \text{m}(\overset{\frown}{AC}))$

где $\text{m}(\overset{\frown}{BD})$ и $\text{m}(\overset{\frown}{AC})$ — градусные меры соответствующих дуг.

Доказательство:

1. Выполним дополнительное построение: соединим точки $A$ и $D$ хордой.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle APD$. Угол $\angle BAD$ является внешним углом этого треугольника при вершине $A$. Согласно свойству внешнего угла треугольника, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle BAD = \angle APD + \angle PDA$

3. Из данного равенства выразим искомый угол $\angle APD$ (который мы обозначили как $\angle P$):

$\angle P = \angle APD = \angle BAD - \angle PDA$

4. Теперь применим теорему о вписанном угле, которая гласит, что вписанный угол равен половине угловой меры дуги, на которую он опирается.

- Угол $\angle BAD$ является вписанным и опирается на дугу $BD$. Следовательно, его величина равна $\angle BAD = \frac{1}{2} \text{m}(\overset{\frown}{BD})$.

- Угол $\angle PDA$ (он же $\angle CDA$) является вписанным и опирается на дугу $AC$. Следовательно, его величина равна $\angle PDA = \frac{1}{2} \text{m}(\overset{\frown}{AC})$.

5. Подставим полученные выражения для $\angle BAD$ и $\angle PDA$ в формулу для $\angle P$ из пункта 3:

$\angle P = \frac{1}{2} \text{m}(\overset{\frown}{BD}) - \frac{1}{2} \text{m}(\overset{\frown}{AC})$

Вынеся общий множитель за скобки, получаем окончательную формулу:

$\angle P = \frac{\text{m}(\overset{\frown}{BD}) - \text{m}(\overset{\frown}{AC})}{2}$

Таким образом, мы доказали, что угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности градусных мер дуг, заключенных между его сторонами.

Ответ: полуразности.