Номер 21, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

21. Касательная ... радиусу, проведенному в точку ... .

Это известная теорема из геометрии, которая полностью звучит так: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Это фундаментальное свойство касательной к окружности. Для полного понимания рассмотрим его подробнее, включая определения и доказательство.

Основные определения
- Окружность — это множество всех точек на плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.
- Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.
- Радиус ($r$) — это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Теорема: Свойство касательной к окружности
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство
Доказательство этой теоремы чаще всего проводится методом от противного.
1. Пусть у нас есть окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Прямая $a$ касается этой окружности в точке $A$. Отрезок $OA$ является радиусом, проведенным в точку касания.
2. Нам нужно доказать, что прямая $a$ перпендикулярна радиусу $OA$, то есть $a \perp OA$.
3. Предположим обратное: пусть прямая $a$ не перпендикулярна радиусу $OA$.
4. Если это так, то перпендикуляр, опущенный из центра $O$ на прямую $a$, — это некий другой отрезок. Назовем его $OH$, где $H$ — точка на прямой $a$. По нашему предположению, $OH$ является перпендикуляром к прямой $a$, а значит, треугольник $\triangle OHA$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle OHA = 90^\circ$.
5. В прямоугольном треугольнике $\triangle OHA$ отрезок $OA$ является гипотенузой, а $OH$ — катетом. Как известно, гипотенуза всегда длиннее катета. Следовательно, $OA > OH$.
6. Мы знаем, что $A$ — точка на окружности, поэтому длина радиуса $OA$ равна $r$. Из неравенства $OA > OH$ следует, что $OH < r$.
7. Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до точки $H$ меньше, чем радиус. Любая точка, расстояние от которой до центра меньше радиуса, находится внутри окружности. Значит, точка $H$ лежит внутри окружности.
8. Получается, что прямая $a$ проходит через точку $A$ (лежащую на окружности) и точку $H$ (лежащую внутри окружности). Такая прямая является секущей и по определению пересекает окружность в двух точках. Это прямо противоречит исходному условию, что прямая $a$ является касательной и имеет с окружностью лишь одну общую точку $A$.
9. Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение было неверным. Следовательно, единственно возможный вариант — это когда радиус $OA$ сам является перпендикуляром к прямой $a$.
Теорема доказана.

Ответ: Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.