Номер 19, страница 214 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

19. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на

части, ... прилежащим сторонам.

19.

В предложении пропущено слово «пропорциональные». Это предложение является формулировкой важной теоремы в геометрии, известной как свойство биссектрисы угла треугольника.

Полная формулировка теоремы звучит так: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для наглядности рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть из вершины $A$ проведена биссектриса $AL$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $L$. Это означает, что отрезок $AL$ делит угол $A$ на два равных угла ($\angle BAL = \angle CAL$).

Согласно теореме, биссектриса $AL$ делит противолежащую сторону $BC$ на два отрезка, $BL$ и $LC$, длины которых пропорциональны длинам прилежащих сторон $AB$ и $AC$. Математически это выражается следующей формулой:

$$ \frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} $$

где $BL$ и $LC$ — это длины отрезков, на которые биссектриса делит сторону $BC$, а $AB$ и $AC$ — это длины сторон, образующих угол, из которого проведена биссектриса.

Таким образом, исходное утверждение с вставленным словом будет:
Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам.

Ответ: пропорциональные.