Номер 12, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

12. Площадь квадрата $S = a^2$; прямоугольника $S = ab$; параллелограмма $S = ah$; треугольника $S = \frac{1}{2}ah$; трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$; ромба $S = \frac{d_1 d_2}{2}$;

... треугольника $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Площадь квадрата: Площадь квадрата вычисляется путем возведения в квадрат длины его стороны. Поскольку все стороны квадрата равны, достаточно знать длину одной из них. В формуле $S$ обозначает площадь, а $a$ — длину стороны квадрата.
Ответ: $S = a^2$

Площадь прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон, которые обычно называют длиной и шириной. В формуле $S$ — это площадь, $a$ — длина одной стороны (например, длина), а $b$ — длина соседней стороны (ширина).
Ответ: $S = ab$

Площадь параллелограмма: Площадь параллелограмма находится как произведение длины его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Важно, что высота — это перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону (основание) или ее продолжение. В формуле $S$ — площадь, $a$ — длина основания, $h$ — высота.
Ответ: $S = ah$

Площадь треугольника: Площадь любого треугольника равна половине произведения длины его основания на высоту, проведенную к этому основанию. Треугольник можно рассматривать как половину параллелограмма с тем же основанием и высотой. В формуле $S$ — площадь, $a$ — длина основания, $h$ — высота (перпендикуляр от вершины к основанию).
Ответ: $S = \frac{1}{2}ah$

Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы длин ее параллельных сторон (оснований) на высоту. Высота трапеции — это перпендикулярное расстояние между ее основаниями. В формуле $S$ — площадь, $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота. Выражение $\frac{a+b}{2}$ также является длиной средней линии трапеции.
Ответ: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

Площадь ромба: Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. В формуле $S$ — площадь, а $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей ромба.
Ответ: $S = \frac{d_1 d_2}{2}$

... треугольника: Данная формула предназначена для вычисления площади частного случая треугольника — равностороннего, то есть такого, у которого все три стороны равны. В этой формуле $S$ — это площадь, а $a$ — длина стороны равностороннего треугольника. Формула выводится из общей формулы площади треугольника ($S = \frac{1}{2}ah$), где высота $h$ выражается через сторону $a$ с помощью теоремы Пифагора: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$