Номер 7, страница 213 - гдз по геометрии 9 класс учебник Казаков, Казакова

7. Признаки ромба:

1) если у параллелограмма диагонали ..., то это ромб;

2) если у параллелограмма диагональ лежит на биссектрисе его угла, то это ... .

1) Согласно одному из признаков ромба, если у параллелограмма диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.
Давайте докажем это утверждение. Пусть дан параллелограмм $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ и $AC \perp BD$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$.
1. В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $AO = OC$.
2. Сторона $BO$ является общей для обоих треугольников.
3. По условию, диагонали перпендикулярны, значит $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$.
Таким образом, $\triangle AOB = \triangle COB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что их соответственные стороны равны, то есть $AB = BC$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$). Так как мы доказали, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны, то и все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, по определению является ромбом.
Ответ: взаимно перпендикулярны

2) Согласно другому признаку ромба, если у параллелограмма диагональ лежит на биссектрисе его угла, то это ромб.
Докажем это. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$.
По определению биссектрисы, $\angle DAC = \angle CAB$.
Поскольку $ABCD$ – это параллелограмм, его противолежащие стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). Диагональ $AC$ является секущей для этих параллельных прямых.
Накрест лежащие углы при секущей равны, поэтому $\angle BCA = \angle DAC$.
Мы имеем систему равенств:
$\angle DAC = \angle CAB$ (по условию)
$\angle BCA = \angle DAC$ (как накрест лежащие)
Отсюда следует, что $\angle CAB = \angle BCA$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как в нем два угла равны ($\angle CAB = \angle BCA$), он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AB = BC$.
Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны, а мы доказали равенство смежных сторон, то все стороны этого параллелограмма равны. Это означает, что параллелограмм $ABCD$ является ромбом.
Ответ: ромб